8. Анализ взаимосвязи временных рядов

8.1. Особенности анализа взаимосвязи временных рядов. Использование традиционных методов эконометрического моделирования при анализе двух временных рядов может привести к серьезным проблемам.

Если анализируется взаимосвязь двух временных рядов, содержащих тенденцию, то могут получиться завышенные оценки силы связи.

Рассмотрим пример. Изучается зависимость численности умерших от онкологических заболеваний от численности студентов-экономистов. Если оба ряда содержат повышающую тенденцию, коэффициент детерминации в уравнении регрессии будет высоким. И по данным уравнения регрессии можно будет сделать абсурдный вывод о том, что основной способ борьбы со смертностью от онкологических заболеваний – закрытие экономических факультетов.

Это происходит потому, что в обоих рядах присутствует в скрытом виде еще один фактор – фактор времени. Если y=f(t) и x=g(t), то, коррелируя оба ряда, мы получаем зависимость одной функции времени от другой, но не зависимость y от x. Подобные ошибки носят название "ложной корреляции".

Те же самые проблемы возникают и при анализе временных рядов, содержащих сезонные или иные циклические колебания. Если в обоих рядах имеются циклические колебания одинаковой периодичности, то сила связи будет завышена. Если же периодичность разная или если циклические колебания имеет только один из рядов, то оценка силы связи окажется более высокой, чем в действительности. Устранение сезонности производится на основе анализа структуры временного ряда.

2. Методы исключения тенденции

Существуют две группы методов исключения тенденции.

1. Уровни исходного ряда преобразуются в новые, освобожденные от влияния тренда. Наиболее часто среди данных методов используется метод последовательных разностей.

2. Изучается взаимосвязь исходных уровней ряда при элиминировании влияния фактора времени путем добавления новой независимой переменной.

Метод последовательных разностей

Если временной ряд содержит линейную тенденцию, то вместо него можно использовать другой, представляющий собой цепные абсолютные приросты первые разности. Пусть

y_t = a₀ + a₁t + е_t (23)

Найдем разность между уровнями ряда t и t-1:

y_t^T - y_t-1^T = (a₀ + a₁t + е_t) - (a₀ + a₁(t-1) + е_t-1)= a₁t - a₁(t-1)+ е_t - е_t-1 =

= a₁ + е_t - е_t-1 (24)

Очевидно, что константа a₁ не зависит от времени, также, как и остатки е, которые носят случайный характер.

Параметрам уравнения регрессии, построенного по первым, вторым и др. разностям легко дать интерпретацию. Недостатки заключаются в том, что сокращается число пар наблюдений и использование преобразованных данных ведет к потере исходной информации.

Добавление переменной

Чтобы устранить тенденцию, можно ввести в модель дополнительную переменную – время. В этом случае будет анализироваться следующая зависимость:

y _t= a₀ + a₁ x_t + t (25)

Преимущество модели в том, что она строится по всем имеющимся уровням ряда, без потери информации. Недостатком может являться увеличение числа независимых переменных и возможных проблемах со статистической достоверностью параметров регрессии.

Приложение 1

Критические точки F-распределения Фишера (α=0.05)

k2\k1	1	2	3	4	5	6	8	10
1	161.45	199.50	215.72	244.57	230.17	233.97	238.89	241.9
2	18.51	19.00	19.16	19.25	19.30	19.33	19.37	19.40
3	10.13	9.55	9.28	9.12	9.01	8.94	8.85	8.79
4	7.71	6.94	6.59	6.39	6.26	6.16	6.04	5.96
5	6.61	5.79	5.41	5.19	5.05	4.95	4.82	4.74
6	5.99	5.14	4.76	4.53	4.39	4.28	4.15	4.06
7	5.59	4.74	4.35	4.12	3.97	3.87	3.73	3.64
8	5.32	4.46	4.07	3.84	3.69	3.58	3.44	3.35
9	5.12	4.26	3.86	3.63	3.48	3.37	3.23	3.14
10	4.96	4.10	3.71	3.48	3.33	3.22	3.07	2.98
11	4.84	3.98	3.59	3.36	3.20	3.09	2.95	2.85
12	4.75	3.88	3.49	3.26	3.11	3.00	2.85	2.75
13	4.67	3.80	3.41	3.18	3.03	2.92	2.77	2.67
14	4.6	3.74	3.34	3.11	2.96	2.85	2.70	2.60
15	4.54	3.68	3.29	3.06	2.90	2.79	2.64	2.54
16	4.49	3.63	3.24	3.01	2.85	2.74	2.59	2.49
17	4.45	3.59	3.20	2.96	2.81	2.70	2.55	2.45
18	4.41	3.55	3.16	2.93	2.77	2.66	2.51	2.41
19	4.38	3.52	3.13	2.90	2.74	2.63	2.48	2.38
20	4.35	3.49	3.10	2.87	2.71	2.60	2.45	2.35
21	4.32	3.47	3.07	2.84	2.68	2.57	2.42	2.32
22	4.30	3.44	3.05	2.82	2.66	2.55	2.40	2.30
23	4.28	3.42	3.03	2.80	2.64	2.53	2.37	2.27
24	4.26	3.40	3.01	2.78	2.62	2.51	2.36	2.25
25	4.24	3.38	2.99	2.76	2.60	2.49	2.34	2.24
30	4.17	3.32	2.92	2.69	2.53	2.42	2.27	2.16
40	4.08	3.23	2.84	2.61	2.45	2.34	2.18	2.08
60	4.00	3.15	2.76	2.53	2.37	2.25	2.10	1.99
120	3.92	3.07	2.68	2.45	2.29	2.17	2.02	1.91
∞	3.84	3.00	2.60	2.37	2.21	2.10	1.94	1.83

Приложение 2

Критические точки t-распределения Стьюдента (двухсторонний тест)

Число степеней свободы, k	Уровень значимости, α
	0,1	0,05	0,01
1	6,31	12,71	63,66
2	2,92	4,30	9,92
3	2,35	3,18	5,84
4	2,13	2,78	4,60
5	2,01	2,57	4,03
6	1,94	2,45	3,71
7	1,89	2,36	3,50
8	1,86	2,31	3,36
9	1,83	2,26	3,25
10	1,81	2,23	3,17
11	1,80	2,20	3,11
12	1,78	2,18	3,05
13	1,77	2,16	3,01
14	1,76	2,14	2,98
15	1,75	2,13	2,95
16	1,75	2,12	2,92
17	1,74	2,11	2,89
18	1,73	2,10	2,88
19	1,73	2,09	2,86
20	1,72	2,09	2,85
21	1,72	2,08	2,83
22	1,71	2,07	2,82
23	1,71	2,07	2,81
24	1,71	2,06	2,80
25	1,71	2,06	2,78
30	1,70	2,04	2,75
40	1,68	2,02	2,70
60	1,67	2,00	2,66
120	1,66	1,98	2,62
∞	1,64	1,96	2,58

Приложение 3

Критические значения распределения χ²

Число степеней свободы, k	α=0,05
1	3,84
2	5,99
3	7,82
4	9,49
5	11,1
6	12,6
7	14,1
8	15,5
9	16,9
10	18,3
11	19,7
12	21,0
13	22,4
14	23,7
15	25,0
16	26,3
17	27,6
18	28,9
19	30,1
20	31,4
21	32,7
22	33,9
23	35,2
24	36,4
25	37,7
26	38,9
27	40,1
28	41,3
29	42,6
30	43,8

Приложение 4

Критические точки распределения Дарбина-Уотсона (α=0.05)

n	Число переменных k
	1		2		3		4		5
	dL	dU	dL	dU	dL	dU	dL	dU	dL	dU
15	1,08	1,36	0,95	1,54	0,82	1,75	0,69	1,97	0,56	2,21
16	1,10	1,37	0,98	1,54	0,86	1,73	0,74	1,93	0,62	2,15
17	1,13	1,38	1,02	1,54	0,9	1,71	0,78	1,90	0,67	2,10
18	1,16	1,39	1,05	1,53	0,93	1,69	0,82	1,87	0,71	2,06
19	1,18	1,40	1,08	1,53	0,97	1,68	0,86	1,85	0,75	2,02
20	1,20	1,41	1,10	1,54	1,00	1,68	0,90	1,83	0,79	1,99
21	1,22	1,42	1,13	1,54	1,03	1,67	0,93	1,81	0,83	1,96
22	1,24	1,43	1,15	1,54	1,05	1,66	0,96	1,80	0,86	1,94
23	1,26	1,44	1,17	1,54	1,08	1,66	0,99	1,79	0,90	1,92
24	1,27	1,45	1,19	1,55	1,10	1,66	1,01	1,78	0,93	1,90
25	1,29	1,45	1,21	1,55	1,12	1,66	1,04	1,77	0,95	1,89
26	1,30	1,46	1,22	1,55	1,14	1,65	1,06	1,76	0,98	1,88
27	1,32	1,47	1,24	1,56	1,16	1,65	1,08	1,76	1,01	1,86
28	1,33	1,48	1,26	1,56	1,18	1,65	1,10	1,75	1,03	1,85
29	1,34	1,48	1,27	1,56	1,20	1,65	1,12	1,74	1,05	1,84
30	1,35	1,49	1,28	1,57	1,21	1,65	1,14	1,74	1,07	1,83
35	1,40	1,52	1,34	1,58	1,28	1,65	1,22	1,73	1,16	1,80
40	1,44	1,54	1,39	1,60	1,34	1,66	1,29	1,72	1,23	1,79
45	1,48	1,57	1,43	1,62	1,38	1,67	1,34	1,72	1,29	1,78
50	1,50	1,59	1,46	1,63	1,42	1,67	1,38	1,72	1,34	1,77
55	1,53	1,60	1,49	1,64	1,45	1,68	1,41	1,72	1,38	1,77
60	1,55	1,62	1,51	1,65	1,48	1,69	1,44	1,73	1,41	1,77
65	1,57	1,63	1,54	1,66	1,50	1,70	1,47	1,73	1,44	1,77
70	1,58	1,64	1,55	1,67	1,52	1,70	1,49	1,74	1,46	1,77
75	1,60	1,65	1,57	1,68	1,54	1,71	1,51	1,74	1,49	1,77
80	1,61	1,66	1,59	1,69	1,56	1,72	1,53	1,74	1,51	1,77
85	1,62	1,67	1,60	1,70	1,57	1,72	1,55	1,75	1,52	1,77
90	1,63	1,68	1,61	1,70	1,59	1,73	1,57	1,75	1,54	1,78
95	1,64	1,69	1,62	1,71	1,60	1,73	1,58	1,75	1,56	1,78
100	1,65	1,69	1,63	1,72	1,61	1,74	1,59	1,76	1,57	1,78

23