7. Одномерные временные ряды

7.1. Основные элементы временного ряда

Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных периодов или моментов времени. Временные ряды также называют динамическими рядами или рядами динамики. Для моделирования временного ряда необходимо четко представлять его структуру, в зависимости от которой применяются те или иные методы анализа .

Каждый элемент (уровень) временного ряда складывается под воздействием трех факторов:

1. Факторы, определяющие тенденцию (тренд) временного ряда. Взятые каждый в отдельности, эти факторы могут иметь разнонаправленное действие, но в единстве образуют возрастающую или убывающую тенденцию.

Пример тренда временного ряда

2. Факторы, определяющие циклические колебания. Наиболее яркий пример циклических колебаний – сезонность. Например, в сельских районах безработица выше зимой, чем летом, потребление электроэнергии также выше зимой и ниже - летом. В ряде случаев можно выделить не только квартальные колебания, но и месячные.

Пример циклических колебаний временного ряда

3. Случайные факторы представляют собой отклонения фактических значений от средних под влиянием неизвестных (неучтенных) причин. Некоторые ряды могут содержать только случайную компоненту, не имея ни тренда, ни циклических колебаний (см. рис.). В этом случае каждый уровень ряда образуется как сумма среднего значения и случайной компоненты, которая может быть как положительной, так и отрицательной.

Пример случайной компоненты временного ряда.

Приведенные выше модели являются в некоторой степени условными, так как на практике чаще всего приходится иметь дело с временными рядами, содержащими все три компоненты. Пример такого ряда показан на рис.

Пример временного ряда, содержащего тренд, циклические колебания и случайную компоненту.

7. 2. Автокорреляционная функция. Моделирование тенденции временного ряда

Если во временном ряде имеется тенденция и циклические колебания, то последующий уровень ряда будет зависеть от предыдущего. Такая зависимость между последовательными уровнями временного ряда называется автокорреляцией уровней ряда. Автокорреляцию рассчитывают при помощи линейного коэффициента корреляции между исходным временным рядом и рядом, сдвинутым на несколько уровней (такой сдвиг обычно называют лагом). Например, рассчитывается автокорреляция с лагом, равным 1 (автокорреляция первого порядка) для временного ряда из n наблюдений. В этом случае коррелируются следующие ряды:

1 ряд, содержащий наблюдения 1, 2, 3, …n-1;

2 ряд, содержащий наблюдения 2, 3, 4, …, n..

Для лага l=2, будем иметь:

1 ряд: 1, 2, 3, …n-2;

2 ряд: 3,4, 5 …, n.

Чем больше величина лага, тем меньше наблюдений используется для расчета автокорреляции. Поэтому считается, что для сохранения статистической достоверности расчетов величина лага не должна превышать n/4.

Совокупность коэффициентов автокорреляции временного ряда, рассчитанных последовательно для лагов 1,2, и т.д., называют автокорреляционной функцией временного ряда, а ее график – коррелограммой. Анализ коррелогаммы позволяет выявить структуру временного ряда.

Если наиболее высоким является коэффициент автокорреляции первого порядка, то приведенный ряд содержит только тенденцию. Если выделяются значимые коэффициенты автокорреляции порядка I, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в I периодов времени.

Если ни один их коэффициентов автокорреляции не является значимым, то возможны 2 причины:

1. Ряд не содержит тенденции и сезонных колебаний.

2. Связь между элементами временного ряда нелинейна и нужны дополнительные исследования.

Моделирование тенденции временного ряда осуществляется при помощи построения уравнения регрессии, в котором в качестве независимой переменной используют t – порядковый номер наблюдения во временном ряду. Наиболее часто встречающиеся функции при моделировании тренда:

Линейная функция: y=a₀+a₁t

Гипербола: y=a₀+a₁/t

Показательная функция y=ab^t

Степенная функция y=at^b

Экспоненциальная функция y=e^a+bt

Полином второго и более высоких порядков у=a₀+a₁t+a₂t²+…+ a_ntⁿ .