Контрольні питання

1. Експериментальні методи моделювання ЕМС, поняття й визначення теорії планованого експерименту

2. Алгоритм підготовки й проведення експериментальних досліджень.

3. Алгоритм розрахунку ММ за планом ПФЕ типу 2ⁿ при рівному числі паралельних дослідів у кожній точці факторного простору.

4. Алгоритм аналізу ММ, отриманої по даним ПФЕ типу 2ⁿ при рівному числі паралельних дослідів у кожній точці факторного простору.

5. Алгоритм розрахунку ММ за планом ПФЕ типу 2ⁿ з паралельними дослідами в одній точці факторного простору.

6. Алгоритм аналізу ММ, отриманої по даним ПФЕ типу 2ⁿ з паралельними дослідами в одній точці факторного простору.

Теоретичні відомості Загальна характеристика експериментально-статистичного моделювання

Технічні об’єкти (ТО) є складними стохастичними системами. Якщо скористатися елементарною моделлю довільної системи у вигляді функціонального перетворювача з векторами параметрів на вході і виході відповідно Х і У, то найпростіша математична модель системи запишеться як У=А{Х}, математичне моделювання зведеться до відшукання конкретного вигляду оператора перетворення А. враховуючи, що як складна стохастична система ТО матиме і детерміновану і стохастичну складові, побудова моделі ТО буде неможливою без оброблення інформації про аналогічні технічні об’єкти, результатів технологічних експериментів, знання загальних принципів і закономірностей функціонування ТО.

Статистичні, або експериментально-статистичні, моделі отримують статистичним обробленням експериментальних даних, зібраних на досліджуваному об’єкті. Структура статистичної моделі вибирається вельми довільно. З метою спрощення застосовуваного математичного апарату статистична модель часто набуває форми полінома, в якому детерміновані фактори виступають у ролі змінних x₁…x_n, а вплив стохастичних факторів схований у коефіцієнтах полінома. Відповідність моделі об’єктові обмежується виключно кількісним аспектом, область застосування – найближчим довкіллям точок, в яких проводилися спостереження. Побудова таких моделей не є переважно надто довготривалою і трудомісткою.

Експериментальні методи побудови моделей об’єктів застосовуються тоді, коли не вистачає знань про алгоритми функціонування реального об’єкта або коли розроблення аналітичних чи алгоритмічних моделей неможливе чи недоцільне внаслідок їх складності. Експериментальні моделі не такі універсальні, як теоретичні, проте простіші за своєю структурою і дозволяють застосовувати однотипний математичний апарат.

Методи статистичного аналізу

Метод найгіршого випадку - використовується для оцінки впливу змінювань зовнішніх параметрів на розкид вихідних, оскільки правильне функціонування об'єкту, що проектується, повинне забезпечуватися при будь-яких значеннях зовнішніх параметрів усередині заданих діапазонів. Як початкові дані вказуються максимально можливі відхилення елементів вектора зовнішніх параметрів Q від номінальних значень. Ця інформація завжди є в технічному завданні (ТЗ) на проектування.

Найгірший випадок по і-му вихідному параметру y_i відповідає максимальним відхиленням усіх елементів вектора Q від номінальних значень Q_ном у бік погіршення вихідного параметра y_i з точки зору вимог ТЗ. Умови працездатності по вихідному параметру, вказані в ТЗ, представляються у вигляді y_i<TT_i або y_i>ТТ_i, де ТТ_i - технічна вимога на параметр. Отже, передусім, необхідно визначити напрям відхилення q_i від номінального значення, тобто знак для кожного y_i з урахуванням його ТТ_i. Завдання зводиться до аналізу чутливості вихідного параметра y_i до зміни зовнішнього параметра q_i і визначенню знаку коефіцієнта чутливості sign(a_ij). Зовнішні параметри q_i для найгіршого випадку розраховуються по формулі , де плюс відповідає умові y_i<ТТ_i, мінус - y_i>ТТ_i.

У загальному випадку для n вихідних і l зовнішніх параметрів визначається матриця чутливості А з елементами . Спеціальні вимоги на точність обчислення елементів a_ij не накладаються (важливо визначити знаки a_ij), тому для визначення матриці використовується метод приростів. Для розрахунку кожного вихідного параметра в найгіршому випадку y_iНС необхідно виконати один варіант аналізу, загальну кількість варіантів аналізу (n+l+1).

Імовірнісні методи - використовуються для оцінки впливу випадкового розкиду значень внутрішніх параметрів на розкид вихідних параметрів. Початковими даними для них служать умови працездатності за усіма вихідними параметрами Y і закони розподілу вірогідності внутрішніх параметрів X, представлені у будь-якому вигляді: аналітичному, гістограм, таблиць результатів вимірів параметрів. Статистичні зв'язки внутрішніх параметрів між собою задаються у вигляді коефіцієнтів кореляцій, обчислених на підставі результатів виміру цих параметрів. Для отримання таких даних виконуються експериментальні виміри для великої кількості комплектуючих виробів і розробляються відповідні програми статистичної обробки отриманих результатів. Найбільшого поширення набули імовірнісні методи статистичного аналізу - аналітичний та чисельний, заснований на застосуванні методу Монте-Карло (метод статистичних випробувань).

Закони розподілу параметрів у_i можна характеризувати функціями розподілу F_i(Y_i), рівними вірогідності того, що у_i виявиться менше деякої величини Y_i. Вірогідність придатності по кожному параметру у_i дорівнює P_i(y_i>TT_i)=1 - F_i(TT_i) або P_i(y_i<TT_i)=F_i(TT_i) залежно від умов працездатності.

Аналітичний метод статистичного аналізу характеризується тим, що за допомогою методу моментів знаходиться апроксимація функції F_i(Y_i). Цей метод має порівняно невисоку точність і надмірну трудомісткість при великій кількості внутрішніх параметрів.

Метод Монте-Карло - один з найбільш ефективних чисельних методів статистичного аналізу, що добре враховує імовірнісну природу розкиду випадкових значень вихідних характеристик. Математичне моделювання по цьому методу повністю передає суть і характер натурних експериментів і в практичній постановці зводиться до багатократного "розігрування" (згідно зі встановленими імовірнісними розподілами) випадкових значень х_i і визначенню для кожного випадкового їх набору відповідних значень y_i. Після завершення необхідного числа випробувань N_ТР статистична обробка послідовностей випадкових значень y_i дає необхідну інформацію про розподіл значень вихідних показників і параметри цього розподілу. В результаті по кожному вихідному показнику можна набути його номінального значення (при нульових допусках) y_jНОМ, математичне очікування, яке за законом великих чисел може бути прийняте рівним середньому арифметичному набутих значень y_i: , імовірнісні межі діапазону розкиду y_imin…y_imax, графік щільності розподілу вірогідності W_N значень y_i, побудований на цьому діапазоні (гістограму), вірогідність попадання цих значень в задані межі та ін. Як вихідні параметри дослідження можуть бути обрані будь-які показники об'єкту, що дають інформацію про його функціонування.

Сучасні прикладні програми для персональних комп'ютерів дозволяють моделювати випадкові величини, розподілені за теоретичними законами. Точність методу Монте-Карло багато в чому залежить від заданої кількості випробувань N. Якщо, наприклад, задати похибку оцінки математичного очікування та СКВ в межах 0,01..0,001% з довірчою вірогідністю 0,9..0,95, то буде потрібно велике число випробувань (до 10⁸). Проте в практичних задачах часто виявляються прийнятними погрішності оцінок математичного очікування і СКО в межах 10..24% з довірчою вірогідністю 0,9 .0,95, що забезпечується пій N=50…200.

Кореляційний аналіз – це розділ математичної статистики, який розглядає методи вивчення взаємозалежності між досліджуваними ознаками. Перша основна задача визначення взаємозв’язку полягає у визначенні на основі спостереження над досліджуваними змінними того, як змінювалася би функція зв’язку при зміні одного з аргументів при решті аргументів незмінних в умовах, коли реально ця решта факторів також не лишається абсолютно постійною внаслідок коливань неконтрольованих і некерованих факторів й своєю зміною впливає на досліджувану залежність, що є характерним для стохастичних процесів. Друга задача – це визначення міри спотворюючого впливу інших факторів на залежність, що нас цікавить.

Кореляційний аналіз дає змогу визначити форму та силу зв’язку між параметрами ТО при статистичній залежності між ними, коли кожному значенню одного параметра відповідає множина значень іншого.

Регресійний аналіз (або теорія регресії) дозволяє визначити теоретичну лінію регресії, тобто здійснити вибір типу регресійної кривої і розрахунок її параметрів, якщо між параметрами існує стохастична або кореляційна залежність. Сила зв’язку цих параметрів визначається коефіцієнтом кореляції, в той час як дослідження і оцінка математичного рівняння цієї залежності становить задачу регресійного аналізу. Інколи регресійний аналіз визначають просто як кількісну оцінку зв’язку між У та Х у вигляді лінії регресії. Цей процес називається вирівнюванням емпіричної лінії регресії.

Отримане під час регресійного аналізу рівняння являтиме собою експериментально-статистичну модель досліджуваного процесу, яка дозволить здійснити оптимізацію процесу в заданому діапазоні значень аргументу Х, прогнозувати значення У в цьому діапазоні та його найближчому довкіллі.

Вибір методу побудови моделі повинен враховувати особливості системи функціональних зв'язків, характер розподілу випадкових значень х_i, а також вимоги до об'єму інформації про вихідні показники у_i. Для завдань імовірнісного аналізу електромеханічних пристроїв у_j = f_j(х_i) представляється в загальному вигляді складними і нелінійними рівняннями, для яких не може бути гарантована явна вираженість і диференційованість. Вхідні параметри є, як правило, безперервними у межах поля допуску випадковими величинами, а імовірнісні закони їх розподілу можуть бути в принципі різні. Для вихідних показників зазвичай вимагається повна статистична характеристика на основі методів, що використовуються в теорії вірогідності.

Важливо відмітити, що методи статистичного експерименту застосовні для дослідження як стохастичних, так і детермінованих систем.