Контрольні питання

1. Які ви знаєте способи побудови моделей за усталених режимах роботи?

2. Які Ви знаєте способи рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою програми MatLab?

3. Приведіть послідовність виконання завдання 1.

4. Як визначаються реакції в опорах?

5. Як перевірити правильність їхнього розрахунку?

6. Наведіть умови рівноваги механічної системи.

7. Приведіть послідовність виконання завдання 2.

8. Опишіть алгоритм формування математичного опису електричного кола за методом контурних струмів.

9. У яких випадках значення струмів на елементах відрізняються від значень контурних струмів?

10. Яким чином розраховуються струми на елементах?

11. Сформулюйте сутність метода контурних струмів.

12. Як перевірити правильність розрахунків струмів на елементах?

13. Наведіть умови рівноваги електричної системи.

14. Чому чисельні методи рішення систем лінійних рівнянь являються ітераційними?

15. Наведіть узагальнений алгоритм рішення систем лінійних рівнянь за допомогою комп’ютерних програм.

Теоретичні відомості до лабораторного заняття № 3 Загальні поняття процесу аналізу математичних моделей в режимі статики

Постановка задач аналізу статичних режимів. Існує два підходи до аналізу статичних станів технічних об’єктів.

Перший підхід використовує в якості математичної моделі об’єкта систему звичайних диференційних рівнянь (ЗДР)

;

де - k –мірний вектор-функція (сукупність функцій f₁, f₂,…,f_k ); - k- мірний вектор аргументів; t – час.

Рішення цієї системи виконується з врахуванням того, що статичний режим є граничним, до якого прямують перехідні процеси під час затухання, тобто при t→ . Точка, в якій , і буде точкою рішення системи в статичному режимі.

Якщо об’єкт багатостабільний (має більш одного стійкого стану), рішення задачі аналізу статики неоднозначно. Тоді чисельне інтегрування системи диференційних рівнянь дає одне з можливих рішень. Отримання інших стаціонарних точок можливе повторенням рішення за інших векторах початкових умов .

Другий підхід до аналізу статики більш економічний. В цьому випадку в якості математичної моделі об’єкта приймається система лінійних алгебраїчних або нелінійних трансцендентних рівнянь

.

Такі рівняння можна одержати з системи диференційних рівнянь, які описують перехідні процеси в електричній або механічній системах, якщо врахувати, що в статичному режимі диференціали (похідні) дорівнюють нулю.

Методи рішення задач статики. Розглянуті підходи розрізняються за своєю постановкою, але методи рішення систем рівнянь, які використовуються в них, об’єднує те, що всі вони ітераційні та ґрунтуються на використання формули

;

де - поправка вектора на (n +1) – й ітерації.

Ітераційний процес слід припиняти після того, як поточна точка виявиться в заданому ε – просторі стаціонарної точки , тобто

< ε;

де - норма вектора нев’язок .

Системи нелінійних рівнянь вирішуються чисельними методами простих ітерацій, Ньютона, порозрядного або подекадного наближень, системи лінійних рівнянь – методом Гауса, обертання. Для рішення складаються програми, що реалізують обраний чисельний метод, мовами QBasic, Pascal та іншими.

Узагальнений алгоритм рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою комп’ютерних прикладних програм. Для знаходження рішення моделі об’єкта за усталеним режимом роботи на персональному комп’ютері система лінійних рівнянь (яка і є моделлю) повинна бути представлена в канонічній форми і має загальний вигляд

або в матричній формі

А · Х = В;

де n – кількість рівнянь (дорівнює кількості невідомих); А – матриця розміром [n x n] коефіцієнтів при невідомих лівої частини рівнянь; Х – вектор невідомих довжиною [n x 1]; В – вектор правої (відомої) частини системи рівнянь довжиною [n x 1]; тобто в розгорнутому вигляді

; ; .

Для рішення засобами комп’ютерних програм необхідно: по-перше, ввести значення параметрів моделі, які визначають коефіцієнти матриці А; по-друге, ввести матрицю А, вектор В; по-третє, знайти рішення (тобто вектор Х) за допомогою спеціальних операторів чи вбудованих функцій, які використовуються в обраній програмі для рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Приклад виконання завдання 1. Необхідно визначити реакції в опорах балки, схема навантаження якої наведена на рис. 1, якщо а = 0,8 м; b = 0,6 м; Р = 10 кН.

Позначимо реакції в опорах через R_A та R_B. Невідомі реакції опор визначають за правилами механіки з умов рівноваги пласкої системи сил.

Рисунок 1 – Розрахункова схема до приклада 1

Складаємо математичний опис за рівняннями рівноваги балки:

1) Σ Y = 0 – алгебраїчна сума проекцій всіх сил на вісь координат У дорівнює нулю;

2) Σ M_A = 0 – сума моментів відносно точки А дорівнює нулю.

R_A + R_B – P = 0; - P · a + R_B · (a + b) = 0.

Представимо рівняння в канонічній формі

.

Для перевірки отриманих значень можна використати рівняння Σ M_В = 0 – сума моментів відносно точки В дорівнює нулю:

R_A · (a + b) - P · b = 0.

Підготуємо до рішення в командному вікні програми MatLab:

; ; .

Наведемо текст програми рішення в командному вікні з врахуванням узагальненого алгоритму.

>> %Лабораторне заняття № 3

>> %Визначення реакцій в опорах балки

>> %Введення параметрів балки

>> a=0.8;b=0.6;P=10;

>> %Введення матриці коефіцієнтів при невідомих А

>> A=[1 1;0 a+b]

A =

1.0000 1.0000

0 1.4000

>> %Введення вектора правої частини системи рівнянь В

>> B=[P;P*a]

B =

10

8

>> %Пошук рішення системи лінійних рівнянь Х

>> X=A\B

X =

4.2857

5.7143

>> %Присвоєння отриманим значенням вектора Х позначень Ra та Rb

>> Ra=X(1)

Ra =

4.2857

>> Rb=X(2)

Rb =

5.7143

>> %Виконання перевірки отриманих значень

>> Ra*(a+b)-P*b

ans =

-8.8818e-016

>> %Висновок: реакції знайдено правильно.

Приклад виконання завдання 2. Необхідно визначити значення контурних струмів в заданому багатоконтурному колі (рис. 2) та знайти значення дійсних струмів в кожній гілці схеми. Чисельні значення елементів схеми: R1 = 10 Ом; R2 = 10 Ом; R3 = 7 Ом; R4 = 5 Ом; R5 = 15 Ом; Е1 = 100 В; Е2 = 30 В; Е3 = 10 В; Е4 = 6 В.

Для рішення використовуємо метод контурних струмів (метод Максвелла).

Рисунок 2 – Розрахункова схема до приклада 2

Визначимо число незалежних контурів за формулою

n = p – q + 1;

де n – число незалежних контурів; p – число гілок; q – число вузлів (точок з’єднання не менше ніж трьох проводів).

n = 6 – 4 + 1 = 3.

Позначимо контурні струми I_1k; I_2k; I_3k та оберемо їх позитивне направлення за годинниковою стрілкою (рис. 2). Складаємо систему рівнянь для контурів

;

Підготуємо отриману систему рівнянь до рішення в командному вікні програми MatLab:

; .

Для визначення дійсних значень струмів гілок необхідно проаналізувати задану схему та отримані значення контурних струмів.

Якщо будь яке з розрахункових значень контурних струмів має знак «–», то дійсний струм в цьому контурі має протилежне направлення, що необхідно враховувати в подальших розрахунках. В гілці, де діє ЕРС Е1, дійсний струм І1 дорівнює контурному струму I_1k. В гілках з резисторами R4 та R5 дійсні струми І4 та І5 також дорівнюють відповідним контурним струмам I_2k та I_3k.

В гілці з резистором R2 дійсний струм І2 отримується накладенням контурних струмів I_1k та I_2k і буде мати направлення більшого з них. В гілці з R3 дійсний струм І3 – накладенням струмів I_2k та I_3k і буде мати направлення більшого з них. В гілці, де діє ЕРС Е3, дійсний струм Іе3 визначається накладенням струмів I_1k та I_3k.

Після цього необхідно стрілочками показати на схемі направлення дійсних струмів кожної гілки. Перевірку результатів розрахунків можна виконати за першим законом Кірхгофа: алгебраїчна сума струмів, що втікають в будь який вузол, дорівнює нулю. Струми, що втікають в вузол, умовно приймаються зі знаком «+», а ті, що витікають, - зі знаком «–».

Наведемо текст програми рішення в командному вікні.

>> %Приклад виконання лабораторного заняття № 3

>> %Визначення значень контурних струмів в електричному колі

>> %Введення параметрів схеми

>> E1=100;E2=30;E3=10;E4=6;

>> R1=10;R2=10;R3=4;R4=5;R5=15;

>> %Введення матриці коефіцієнтів при невідомих А

>> A=[R1+R2 -R2 0;-R2 R2+R3+R4 -R3;0 -R3 R3+R5]

A =

20 -10 0

-10 19 -4

0 -4 19

>> %Введення вектора правої частини системи рівнянь В

>> B=[E1-E2-E3;E2-E4;E3+E4]

B =

60

24

16

>> %Пошук рішення системи лінійних рівнянь І

>> I=A\B

I =

5.1800

4.3600

1.7600

>> %Дійсні струми на елементах R1,R4,R5 дорівнюють значенням відповідних контурних струмів

>> %Позначимо їх

>> I1=I(1);I4=I(2);I5=I(3);

>> %Визначимо дійсні струми на елементах R2,R3 та гілці з ЕРС Е3

>> I2=I1-I4

I2 =

0.8200

>> I3=I4-I5

I3 =

2.6000

>> Ie3=I1-I5

Ie3 =

3.4200

>> %Перевірка отриманих дійсних значень струмів на елементах за першим законом Кірхгофа

>> %Для вузла 1

>> I2+I3-Ie3

ans =

0

>> %Для вузла 2

>> I1-I2-I4

ans =

0

>> %Для вузла 3

>> I4-I5-I3

ans =

0

>> %Для вузла 4

>> Ie3-I1+I5

ans =

2.2204e-016

>> %Висновок: значення дійсних струмів на елементах схеми знайдено правильно.