5. Метод кубической интерполяции для одномерной минимизации

Суть алгоритма заключается в том, что на каждой итерации функция f(x) аппроксимируется кубическим полиномом F(x), точка минимума x^(*) которого берется в качестве текущего приближения к искомому минимуму х^*. Алгоритм предполагает вычисления в каждой очередной точке значений функции f(x) и ее производной f '(x).

Начальный этап. Задать , x₁, h₁ – параметры метода, имеющие общепринятый смысл. Методом Свенна установить начальный интервал [a, b]:

(1) изменить направление поиска h₁ = –h₁, если f '(x₁) > 0;

(2) вычислять f_k в точках x_k + 1 = x_k + h_k при h_k = 2h_k – 1, k = 2, 3, ..., m – 1 до тех пор, пока не продвинемся в точку x_m, такую, что f '(x_m)f '(x_m – 1) < 0;

(3) если x_m – 1 < x_m, то положить a = x_m – 1, b = x_m, иначе – a = x_m, b = x_m – 1.

Основной этап.

Шаг 1. Найти аппроксимирующий минимум:

(1) вычислить параметр  = (z + w – f '(a))/(f '(b) – f '(a) + 2w), где z =  = f '(a) + f '(b) + 3(f(a) – f(b))/(b – a), w = (z² – f '(a)f '(b))^1/2;

(2) принять аппроксимирующий минимум

x^(*) = a + (b – a), если 0 ≤  ≤ 1,

x^(*) = a, если  < 0, и

x^(*) = b, если  > 1.

Шаг 2. Проверить критерий окончания поиска:

eсли f '(x^(*)) <  или x^(*) = a, или x^(*) = b, поиск окончить. Иначе вернуться к шагу 1, используя новый интервал [a, x^(*)], если f '(x^(*)) > 0, либо интервал [x^(*), b], если f '(x^(*)) < 0.

6. Метод Фибоначчи

Метод Фибоначчи является процедурой линейного поиска минимума унимодальной функции f(x) на замкнутом интервале [a, b], отличающейся от процедуры золотого сечения тем, что очередная пробная точка делит интервал локализации в отношении двух последовательных чисел Фибоначчи. Последовательность чисел Фибоначчи задается условиями F₀ = F₁= 1, F_k + 1 = F_k + F_k – 1, k = 1, 2, ... . Начальными членами последовательности будут 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... . Стратегия поиска Фибоначчи требует заранее указать n – число вычислений минимизируемой функции и  – константу различимости двух значений f(x). Рассмотрим один из возможных вариантов метода.

Начальный этап.

(1) Задать начальный интервал [a₁, b₁], длину конечного интервала L_n и определить число n так, чтобы выполнялось условие F_n > (b₁ – a₁)/L_n. Вычислить  ≤ L₁/F_n + 1.

(2) Взять 2 пробные точки ₁ = a₁ + (F_n – 2/F_n)(b₁ – a₁) и ₁ = a₁ + (F_n – 1/F_n)(b₁ – a₁). Положить k = 1.

Основной этап.

Шаг 1. Сократить текущий интервал локализации:

(1) если f(_k) < f(_k), то положить a_k + 1 = a_k, b_k + 1 = _k, _k + 1 = _k и вычислить новую точку _k + 1 = a_k + 1 + (F_{n – k – 2}/F_n – k)L_k + 1, где L_k + 1 = b_k + 1 – a_k + 1; перейти к шагу 2;

(2) если f(_k) ≥ f(_k), то положить a_k + 1 = _k, b_k + 1 = b_k, _k + 1 = _k и вычислить _k + 1 = a_k + 1 + (F_{n – k – 1}/F_n – k)L_k + 1.

Шаг 2. Проверить критерий окончания поиска:

(1) заменить k на k + 1;

(2) если k = n – 1, перейти к шагу 3, иначе – к шагу 1.

Шаг 3. Найти аппроксимирующий минимум x^(*):

(1) положить _k = _k + ;

(2) eсли f(_k) > f(_k), то x^(*) = (_k + b_k)/2. В противном случае – x^(*) = (a_k + _k)/2.