Очень хороший набор лекций. Векторы, Комплексные шпоры, . Алгебраические операции, Многочлены, Поле рациональных дробей, / 5matrix

§5. Матрицы

1.Основные определения.

Пусть К – коммутативное кольцо с единицей.

Определение 1: Матрицей размеров над кольцом К называется прямоугольная таблица из элементов кольца К и имеющая строк и столбцов:

где – номер строки, – номер столбца. – элементы матрицы, и - порядки матрицы. Говорят, матрица размера . Если , то матрица называется квадратной, а число – её порядком.

Далее для изображения матрицы применяются либо круглые скобки, либо сдвоенные прямые:

или .

Для краткого обозначения матрицы используется либо заглавная латинская буква , либо символы , , либо с разъяснением: .

Множество всех матриц обозначается .

Частные случаи матриц.

1. Если , то матрица называется квадратной. Её диагональ называется главной диагональю, а – побочная диагональ.

2. Диагональная матрица – это матрица, у которой все ненулевые элементы находятся на главной диагонали, т.е. .

3. Диагональная матрица вида называется скалярной.

4. Скалярная матрица с единичными элементами на главной диагонали называется единичной. Обозначается или , – порядок.

5. Матрица размера , у которой все элементы равны нулю, называется нулевой и обозначается .

6. Если , то матрица называется строкой, или матрица-строка, или строка. Если столбцовая = матрица-столбец = столбец.

Определение 2: Две матрицы называются равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и их соответствующие элементы совпадают.

2. Операции над матрицами и их свойства.

Определение 3: Суммой матриц и (т.е. имеющих одинаковые порядки) называется матрица : . Обозначение: .

Пример: Сумма матриц – алгебраическая операция.

.

Свойства (сложения матриц):

1˚. .

2˚. .

3˚. .

4˚. . При этом, если , то . Матрица называется противоположной к и обозначается .

Доказательство – самостоятельно.

Теорема 1: Множество относительно сложения образует абелеву группу.

Доказательство: Следует из свойств 1-4.

Определение 4: Произведением элемента называется матрица Обозначение .

Операция сопоставляющая и и их произведение называется умножением элемента кольца на матрицу.

Свойства (умножения матрицы на элемент кольца): .

1˚. .

2˚. .

3˚. .

4˚. .

Доказательство – самостоятельно.

Замечание: Разность двух прямоугольных матриц и определяется равенством .

Определение 5: Произведение матриц размеров и размеров называется матрица размеров , такая что каждый элемент . Обозначение . Операция произведения на называется перемножением этих матриц.

Из определения следует, что элемент матрицы , стоящий на -ой строке и -ом столбце равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на -ый столбец матрицы .

Пример: ,

.

Таким образом, две матрицы можно перемножать, когда число столбцов равно числу строк матрицы . Тогда матрица называется согласованной с . Из согласованности с не следует согласованность с . Если даже выполняется, то .

Свойства (умножения матриц):

1˚. имеем .

Доказательство: Из определения 5 следует, что элемент матрицы равен , а элемент матрицы равен . Равенство следует из возможности изменения порядка суммирования.

2˚. , .

, .

Доказательство: следует из определения суммы и произведения.

3˚. .

Доказательство: Пусть, и . Тогда , здесь – символ Кронекера.

.

4˚. .

5˚. .

Доказательство: аналогично свойству 3˚.

6˚. .

Теорема 2: Множество квадратных матриц порядка над кольцом относительно операций сложения матриц и умножения матриц образует кольцо с единицей.

Доказательство: Из Теоремы 1 – абелева группа. Так как любые матрицы из согласованы умножение определено. Дистрибутивность и ассоциативность умножения следует из свойств 2˚ и 1˚. Свойство 3˚ демонстрирует наличие единицы.

Замечание: В общем случае произведение не коммутативно. Но: из 4˚ и 5˚ умножение квадратной матрицы на и – коммутируют. Также коммутирует умножение квадратной матрицы на скалярную .

3. Блочные матрицы.

Пусть матрица при помощи горизонтальных и вертикальных прямых разбита на отдельные прямоугольные клетки, каждая из которых является матрицей меньших размеров и называется блоком исходной матрицы. В этом случае рассматривается как некоторая новая, блочная матрица , элементами которой являются блоки указанной матрицы ( – элементы матрицы, поэтому заглавное).

Здесь – номер блочной строки, – столбца. Например

, ,

, , .

Замечательным является факт, что операции с блочными матрицами совершаются по тем же правилам, что и обычными, только в роли элементов выступают блоки.

Действительно, если , то , где вычисляется по обычному правилу умножения матрицы на число.

Аналогично, если и имеют одинаковые порядки и одинаковым образом разбиты на блоки, то сумме отвечает блочная матрица : .

Для умножения на необходимо согласовать их разбиение на блоки, т.е. число столбцов каждого блока равно числу строк блока .

Тогда .

Для доказательства необходимо расписать правую и левую части в терминах обычных элементов матриц .

Пусть

Пример: , ,

, ,

,

,

В качестве применения блочных матриц рассмотрим

Определение 6: Прямой суммой квадратных матриц порядков соответственно называется квадратная матрица порядка : . Обозначение .

Свойства (прямой суммы):

1˚. .

2˚. .

3˚. .

4˚. .

Доказательство – самостоятельно.

§6. Группа перестановок. Знак перестановки.

Напомним, что если – множество из -элементов, , то перестановкой степени называется взаимнооднозначное отображение . – множество всех перестановок степени : .

Лемма 1: Число различных перестановок равно

Лемма 2: Множество перестановок образует группу относительно умножения, так что , обратный элемент получается сменой строк (Не коммутативная группа).

Отметим, что если в перестановке поменять местами любые столбцы, то получится та же перестановка.

Углубим проведенное ранее исследование:

Определение 1: Пусть – перестановка степени , пусть . Тогда пара называется инверсией для , если .

Перестановка называется четной, если число инверсий для – четное, и перестановка нечетная, если число инверсий нечетное.

Знак перестановки – это ,где – число инверсий.

Обозначается .

Итак, если – четная, то , и если – нечетная, то .

Пример: . Пары . Их них подчеркнутые – инверсии. Таким образом, , т.е. – четная.

Теорема 1:

1. Знак единичной перестановки равен 1.

2. Если .

3. .

Доказательство: 1. В единичной перестановке инверсий нет .

2. Пусть – множество инверсий относительно , а – множество инверсий относительно .

Легко видеть, что если , то . Следовательно, между множествами устанавливается взаимнооднозначное соответствие

.

3. Пусть – множество инверсий относительно ,

– множество инверсий относительно ,

– множество инверсий относительно : .

Тогда надо доказать, что , т.е. – четное число – это надо доказать.

Пусть ,

,

,

.

Введем следующее обозначение: пусть - это множество пар . Тогда справедлива следующая множественная схема:

Между множествами существует взаимнооднозначное соответствие : .

Поэтому из картинки видно , т.е. четное число. ▄

Следствие: .

Обозначение: Пусть . -перестановкой будем называть перестановку, при которой

Определение 2: Перестановка вида называется транспозицией. Они имеют вид , где точками обозначены элементы, остающиеся на своих местах.

Теорема 2: Транспозиция – нечетная перестановка.

Доказательство: Вычислим число инверсий. Инверсиями являются пары , где , пара , где , и пара . Их всего будет , т.е. нечетное число. ▄

Замечание: Произведение вида означает, что в нижней строке надо поменять местами и .

? Что означает .

Пример .

Теорема 3: Каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций.

Доказательство: Пусть . Покажем, что нижняя строка может быть получена из строки за конечное число шагов, каждый из которых состоит в том, что два числа меняются местами:

Пример:

т.е. .

Аналогично в общем случае.

Пусть на втором шаге поменяются местами . Тогда ввиду замечания .

Упражнение: Каждая перестановка является произведением конечного числа транспозиций вида .

.

Теорема 4: При всех разложениях перестановки в произведения транспозиций, четность числа транспозиций одна и та же; она совпадает с четностью перестановки.

Доказательство: Пусть , где – транспозиция. Тогда знак равен знаку произведения транспозиций – четно, если – четно.

46