§ 3. Многочлены

1^о. Эвристические соображения.

Пусть – поле. Тогда многочленом (полиномом) от одной переменной с коэффициентами из называется выражение вида

Здесь под понимается некоторый символ, который может принимать любые значения из .

Многочлен можно понимать как:

1. формальное выражение;

2. как функцию , если .

Ключевой вопрос: что значит, что два многочлена равны?

Если следовать первому пункту, то

равносильно выполнению равенств Если второму, то должно выполняться равенство .

Легко видеть, что если многочлены равны как формальные выражения, то они равны как функции. Обратно неверно.

Пример. Если с операциями, введенными в примере 5 из примеров колец (см. п. 3° из § 2), то многочлены и совпадают как функции, но различны как формальные выражения. Тоже самое и .

В

дальнейшем будем рассматривать многочлены как формальные выражения. Более того, для удобства формальной записи алгебраических операций многочлены желательно рассматривать как сумму бесконечного числа слагаемых вида с конечным числом отличных от нуля слагаемых: Тогда формулы для суммы и произведения многочленов примут вид:

;

,

где .

2O. Точные определения.

Пусть – поле.

Определение 1. Многочленом одной переменной с коэффициентами из называется бесконечная последовательность , в которой все элементы, кроме конечного числа, равны нулю.

Множество многочленов с коэффициентами из поля обознается .

Введем операции сложения и умножения многочленов.

Пусть . Тогда

,

, где .

Очевидно, что и имеют лишь конечное число ненулевых членов, т.е. являются многочленами. При этом, если имеет членов, а ненулевых членов, то – не более чем , а – не более чем ненулевых членов.

Теорема 1. – коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля.

Доказательство. – абелева группа – очевидно. При этом нулевой элемент.

Проверим ассоциативность умножения. Пусть

.

Необходимо доказать, что . Имеем:

, где . Тогда

, где ,

и

, где ,

т.е. ассоциативность умножения выполняется.

Проверим дистрибутивность, т.е. выполнение равенств

.

Имеемгде ;

где .

Аналогично доказывается второе равенство.

Проверим коммутативность умножения. Имеем

, где и

, где

силу коммутативности умножения в .

Легко проверить, что – единица в , так как

.

Покажем, что в нет делителей нуля. Пусть

, , , , , , , . Тогда

, где

, т.к. не имеет делителей нуля. Следовательно, ­­­­– кольцо без делителей нуля. ■

Рассмотрим .

Очевидно, что

.

Следовательно, множество можно отождествить с (т.е. построить изоморфизм между этими кольца, причем ставится в соответствие .)

Обозначим (т.к. ).

Лемма 1. Пусть . Тогда

.

Доказательство. Так как , то легко видеть, что . Тогда

, и, значит

Терминология. Пусть

. Тогда – свободный член. Если , то – степень многочлена. Пишут (degree), – старший коэффициент , , – переменная.

Следствие. . Выполняется .

При этом , .

Доказательство. Пусть и . Тогда и .

Если или .■

Замечание. определено только для многочленов нулевой степени близко по свойствам к кольцу алгоритм деления с остатком.

3

^o. Деление многочленов.

Теорема 2. Пусть . Тогда

и .

(1)

Доказательство. Пусть . Если , то можно положить . Если , то будем использовать тот же метод деления, что и для чисел.

Пусть

и .

Положим . Тогда . Пусть и

. Если , то остановим процесс вычисления; если , то положим .

Пусть , – старший коэффициент , и т.д. … Так как степени многочленов убывают, то получим :

и . Процесс останавливается. Суммируя полученные ранее выражения, получаем:

.

Тогда ,

, т.е. получено требуемое представление (1).

Докажем единственность. Пусть и . Тогда . Если

, то (по лемме 1) , a противоречие .■

Определение 2. Если и , то называется остатком при делении на .

Пример. .

Замечание. Из указанного в теореме 2 алгоритма деления с остатком следует, что если и – многочлены с действительными коэффициентами, то коэффициенты всех многочленов а значит и коэффициенты и – действительные. Для целых коэффициентов это утверждение, очевидно, неверно.

4^o. Делители многочленов. Наибольший общий делитель.

Определение 3. Пусть . Если , то говорят, что делится на или делит , и пишут . Если , то означает, что остаток от деления равен . В этом случае многочлен называется делителем многочлена .

Свойства (делимости многочленов). Пусть , , , , , . Тогда справедливы свойства:

1) Если , .

Доказательство следует из равенства .

2) , .

Доказательство. Так как

; так как

. Тогда имеем

.

3) , .

4) .

Доказательство.

. Тогда

; следовательно, .

5) Если , , то справедливо

.

6) .

Доказательство следует из равенства .

7) имеем .

8) .

Действительно, .

9) .

Доказательство.

и . Ho .

и .

10) .

Доказательство.

Если имеем .

Если и по свойству 1⁾ имеем (в силу свойства 9) .

Следует из свойства 9.

11) Если , то имеем .

Определение 4. Многочлен называется общим делителем и , если и . Наибольшим общим делителем (НОД) двух многочленов и называется их делитель , который делится на любой другой их общий делитель.

Замечание. Ненулевая постоянная является общим делителем любых двух многочленов.

Лемма 2. Если НОД двух многочленов и существует, то он определен с точностью до множителя .

Доказательство. Пусть и – два НОД для и и (по свойству 10) , для и .

Пусть . Если – общий делитель для и , то – тоже общий делитель. Если – НОД, т.е. любой другой делитель делит , то − тоже НОД.■

Лемма 3. Если , , то пары многочленов и имеют одинаковые общие делители.

Доказательство. Пусть – общий делитель и (из ) (по свойству 5) . Аналогично, из делимости и на и делятся на .■

Лемма 4. Если , то – НОД для и , т.е. .

Доказательство следует из того, что – делитель и и любой делитель и делит .

Теорема 3. Для , НОД().

Доказательство. Рассмотрим . Если , то в силу леммы 4 и условия имеем – НОД().

Если, то поделим на с остатком . Если, то теорема доказана в силу леммы 4.

Пусть . Тогда делим на . Если остаток , то доказательство завершаем, если , то делим на и т.д. Так как степени остатков все время уменьшаются, то процесс конечен. Таким образом, имеем следующую последовательность равенств:

	(E)

Здесь .

Из равенств () и леммы 2 что пары многочленов имеют общие делители делители и совпадают с делителями многочлена (по лемме 4) – делитель и .

Если – любой другой делитель и он делитель и – НОД.■

Замечание 1. Алгоритм построения НОД, использованный в теореме 3, называется алгоритмом Евклида или алгоритмом последовательного деления.

Замечание 2. Если .

Замечание 3. Так как НОД определен с точностью до множителя, то будем считать, что коэффициенты при старшей степени равен 1.

Пример. Если , то .

Замечание 4. При вычислении НОД результаты вычисления можно умножать и делить на элементы из , что влияет лишь на множители.

Теорема 4 (теорема о разложении НОД). Пусть и , . Тогда

(2)

При этом, если , то и можно подобрать так, что и .

Доказательство. Если , то .

Аналогично, если .

Пусть теперь и не является делителем . Тогда можно считать, что . Из последнего равенства из (Е) следует, что

.

Положим .

Из равенства

где .

Поднимаясь дальше вверх, приходим к (2).

Докажем второе утверждение теоремы. Пусть (2) получено, но Покажем, что (1) можно привести к виду

где

Делим u на g с остатком: где

Подставим u в (1), имеем:

(2)

Положим, . Тогда Покажем, что От противного: пусть . Имеем Так как , что противоречит определению НОД.

 

Пример.

НОД

Замечание. Аналогично для случая многих многочленов вводится НОД.

 

5˚. Взаимно простые многочлены.

Определение 5. Многочлены называют взаимно простыми, если их общие делители только многочлены нулевой степени.

Лемма 5. ­– взаимно просты НОД

Теорема 5 (критерий взаимной простоты многочленов)

− взаимно просты

Док-во:

следует из теоремы 4.

Из (3) общий делитель идолжен делить 1 он постоянен - взаимно просты. ■

 

Св-во (взаимно-простых многочленов)

1º. - взаимно прост c и - взаимно прост с .

Док-во:

НОД НОД

|умножая на |

Если и - не взаимно просты делитель, который является делителем для - не взаимно просты . ■

2º. НОД

Док-во:

НОД |умножим на |

. Т.к. и ■

3º. НОД

Док-во:

■

 

6º. Корни многочленов.

Определение 6. Число называется корнем , если

Теорема 6 (теорема Безу).

, тогда

Док-во:

Разделим ,

■

Замечание. Остаток от деления по равен .

Следствие. Число корней нулевого многочлена не превосходит его степени.

Док-во:

По индукции. Если , то корней нет доказано.

Пусть для доказано и

Если нет корней все!

Если - корень и

Корни - это корни и наоборот (корни)=(корни)+1.■

Замечание. Т.о., задача нахождения корней многочлена равносильна нахождению его нормальных делителей.

Многочлен можно разделить на с остатком используя так называемую схему Горнера. Пустьимеет вид:

и пусть где .

Приравнивая левую и правую часть, получаем:

, , …, , .

Откуда

Для практического использования схему Горнера строят следующим образом:

			…		…
			…		…

Отметим, что

Пример. Найти

 

	1	0	-4	6	-8	10
2	1		-4+4=0		-8+12=4

 

Пусть с – корень многочлена т.е. и значит, по теореме Безу, Может оказаться, что , то

Определение 7. Наибольшее называется кратностью корня многочлена корень называется k-кратным корнем Если k=1, то корень называется простым.

Замечание1. Если с – корень кратности k для , то и

т.е. . Наоборот, если и то с –корень кратности k многочлена

Предположим, что

| т.к. в кольце нет делителей нуля | противоречие.

Замечание2. является корнем нулевого многочлена.

Пусть