IV. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины

Ввиду ограниченного числа наблюдений статистический закон распределения обычно в какой-то мере отличается от теоретического, даже если предположение о законе распределения сделано правильно. В связи с этим возникает необходимость решить следующую задачу: является ли расхождение между статистическим и теоретическим законами распределения следствием ограниченного числа наблюдений или оно является существенным и связано с тем, что действительное распределение случайной величины не соответствует выдвинутой гипотезе.

Для проверки гипотезы о нормальном распределении рассматриваемой величины заполняем таблицу 2.

1. Производим новую классификацию выборки: объединяем интервалы, для которых в один. В нашем примере после объединения .

2. Вычисляем вероятности попадания варианты в каждом интервале по формуле , где – номер интервала, – функция Лапласа.

3. Вычисляем и с учетом объединения интервалов.

4. В нашем примере .

5. По заданному уровню значимости и числу степеней свободы по таблице находим .

6. Так как , то нет оснований отвергнуть выдвинутую гипотезу, т.е. гипотезу о том, что случайная величина распределена по нормальному закону, можно с надежностью считать правдоподобной, не противоречащей опытным данным.

Таблица 2

	Границы классов
1	(71,95;72,31)	–3,00	–0,4987	–0,75	–0,2734	0,2253	14	0,2333	13,518	0,482	0,017
2	(72,31;72,43)	–0,75	–0,2734	0,00	0,0000	0,2734	17	0,2833	16,404	0,596	0,022
3	(72,43;72,55)	0,00	0,0000	0,75	0,2734	0,2734	15	0,2500	16,404	–1,404	0,120
4	(72,55;72,79)	0,75	0,2734	2,25	0,4878	0,2144	14	0,2333	12,864	1,136	0,100
	Σ					1					0,259

Итак, теоретическая плотность распределения имеет вид:

.

Построим график этой функции. Для этого возьмем 7 точек с абсциссами из таблицы 1 и вычислим ординаты этих точек. Составим таблицу 3.

Таблица 3

1 2 3 4 5 6 7	72,01 72,13 72,25 72,37 72,49 72,61 72,73	–0,42 –0,30 –0,18 –0,06 0,06 0,18 0,30	0,1760 0,0900 0,0324 0,0036 0,0036 0,0324 0,0900	3,52 1,80 0,65 0,07 0,07 0,65 1,80	0,0296 0,1650 0,5220 0,9320 0,9320 0,5220 0,1650	0,07 0,41 1,31 2,33 2,33 1,31 0,41

Примечания: , .

Для более точного построения графика найдём максимум и точки перегиба функции : максимум , точки перегиба (72,27; 1,52) и (72,59; 1,52).

Строим график на рис. 1 (сплошная линия).

Сравним теоретическую и эмпирическую плотности распределения случайной величины:

Таблица 4

№	1	2	3	4	5	6	7
	72,01	72,13	72,25	72,37	72,49	72,61	72,73
	0,07	0,41	1,31	2,33	2,33	1,31	0,41
	0,14	0,42	1,39	2,36	2,08	1,39	0,56

Сравнивая значения ординат плотности распределения случайной величины и плотности относительных частот, мы наблюдаем незначительное отклонение этих величин друг от друга, что также свидетельствует о правильности выбора закона распределения.