3.4.2. Методические указания и примеры расчета

Рассмотрим методику решения задач по переходным процессам первого порядка при подключении электрической цепи к источнику постоянного и переменного токов.

П усть дана электрическая цепь, содержащая сопротивления R₁=200 Ом, R₂=100 Ом и индуктивность L=0,2 Гн. Электрическая цепь подключается: в первом случае к постоянной ЭДС Е=100 В, во втором случае к синусоидальной ЭДС В. Необходимо определить законы изменения токов , и напряжения на индуктивности. Построить графики изменения токов во времени.

1. Переходный процесс при постоянной эдс

Используя классический метод расчета, закон изменения тока будем искать в виде:

Принужденная составляющая тока будет равна току в электрической цепи в установившемся режиме. Используя первый закон Кирхгофа, составим уравнение для узла:

(3.54)

Напряжение на зажимах ab будет равно падениям напряжения на сопротивлении R₂ и индуктивности L

. (3.55)

Известно, что напряжение на индуктивности:

.

Поскольку закон изменения принужденной составляющей тока совпадает с принуждающей его ЭДС и является постоянным, то и, следовательно, . Используя закон Ома и подставив в него известные значения, получим уравнение:

А.

Из уравнения (3.54) следует, что . Используя второй закон Кирхгофа, составим уравнение:

. (3.56)

Подставив в уравнение (3.56) найденные значения, определим принужденные составляющие первого тока и тока в индуктивности:

В, А, следовательно, А.

Составим характеристическое уравнение, используя метод полного сопротивления цепи для синусоидального тока (см пункт 3.1.5), и определим его корни. Тогда полное сопротивление цепи равно:

.

Делая замену на р и приравнивая к нулю рассмотренное выше равенство, получим:

. (3.57)

После преобразования из выражения (3.57) следует характеристическое уравнение:

, ,

. (3.58)

Для полученного характеристического уравнения находим корень:

, .

Закон изменения свободной составляющей тока при одном действительном отрицательном корне будет иметь вид:

.

Тогда законы изменения токов с учетом найденных значений:

, (3.59)

. (3.60)

Постоянные интегрирования А₁ и А₂ определим из начальных значений при t=0₊. До коммутации в схеме имеют место нулевые начальные значения. Используя первый закон коммутации, получаем:

А.

Составляем систему уравнений для мгновенных значений токов и напряжений непосредственно после коммутации в момент времени t=0₊, используя первый и второй законы Кирхгофа.

(3.61)

Решив систему уравнений (3.61) получим:

А, В.

Подставив полученные начальные значения токов в уравнения (3.59), (3.60) для момента времени t=0 находим постоянные интегрирования А₁ и А₂:

, А,

, А.

В результате получаем законы изменения токов :

А,

А.

Закон изменения тока определяем из первого закона Кирхгофа:

, ,

А.

Закон изменения напряжения на индуктивности определяем, используя закон изменения тока :

, , , В.

Для построения графика токов рекомендуется использовать программу MathCad. Переходный процесс характеризуется постоянной времени , с, (см пункт 3.3.2). Поэтому в данном случае для построения графика переходного процесса достаточно взять интервал времени больше , с. Возьмем , с. График необходимо строить с шагом .