3.2.8. Первый закон Кирхгофа в операторной форме

Составим уравнение для узла по первому закону Кирхгофа. Сумма мгновенных значений токов в узле равна 0:

или после преобразования Лапласа:

В общем случае имеем

. (3.20)

3.2.9. Второй закон Кирхгофа в операторной форме

Д ля любого замкнутого контура любой электрической цепи можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений.

Рассмотрим замкнутый контур (рис. 3.10).

(3.21)

Произведем преобразование Лапласа:

, , ,

, .

Получим уравнение:

. (3.22)

Обозначим:

, , , , , .

Получим:

(3.23)

По выражению (3.23) составим электрическую схему в операторной форме (рис.3.11).

При составлении схемы замещения в операторной форме для исходной электрической схемы (рис. 3.10) необходимо учесть следующие моменты:

1. В схеме появляются операторные сопротивления:

- индуктивное ;

- емкостное ;

- активное .

2. Направление внутренних ЭДС:

- внутренняя ЭДС индуктивности направлена согласно по направлению тока , протекающего через нее;

- внутренняя ЭДС емкости направлена на встречу току , протекающему через эту емкость.

3.2.10. Последовательность расчета в операторной форме

Расчет в операторном методе состоит из двух основных этапов:

1. Составление изображений искомой функции и определение основных коэффициентов.

2. Переход от изображения к функции времени.

При определении изображения искомой функции можно использовать любой из методов, используемых для расчетов электрических цепей постоянного тока.

3.2.11. Использование метода контурных токов

Определим изображения функций токов во всех ветвях схемы (рис.3.12).

Составим операторную схему замещения (рис. 3.13). Методом контурных токов составим систему уравнений:

(3.24)

В результате решения системы получим:

,

.

При нулевых начальных условиях полученные выражения для токов и примут вид:

, (3.25)

. (3.26)

Изображения функций искомых токов в ветвях можно определить, подставив изображения для контурных токов из формул (3.25)и (3.26) в следующие выражения:

.

3.2.12. Переход от изображения к функции времени

При переходе от изображения к функции времени принято представлять изображение искомой функции в виде отношения двух полиномов по степеням .

Рассмотрим, например, для тока (3.25) в виде отношение двух полиномов:

. (3.27)

В случае если прикладывается постоянная ЭДС будем иметь ее изображение:

.

Тогда выражения для полиномов будут иметь вид:

,

.

Если ЭДС принять переменной , то ее изображение будет иметь вид:

.

Для полиномов получим следующие выражения:

,

.

При этом будем иметь в виду, что степень полинома ,а степень полинома .

Переход от изображения к оригиналу осуществляется посредством двух способов:

1. Если полином имеет несколько одинаковых корней (кратные корни), то рекомендуется использовать формулы соответствия, которые рассмотрены в справочниках по математике.

2. Второй способ состоит в применении так называемой формулы разложения. Существует две формулы разложения:

1. Для случая, если полином не имеет кратных корней.

2. имеет несколько корней.

Второй способ является более общим и поэтому его принято рассматривать основным.