3.1.6. Составление характеристического уравнения

1. Составление характеристического уравнения при помощи определителя

Используя методику, изложенную в параграфе 3.6, можно получить систему уравнений для свободных составляющих (3.7). Если значение коэффициентов при свободных составляющих токов занести в определитель и приравнять его к 0, то получим характеристическое уравнение

.

Раскроем определитель и получим

, откуда

или

.

2. Составление характеристического уравнения при помощи уравнения для входного сопротивления цепи на переменном токе.

Составим уравнение для определения сопротивления цепи (рис 3.2) в символической форме:

.

Для получения характеристического уравнения произведем замену и получим:

.

Откуда

.

Приравнивая , получим характеристическое уравнение:

или

.

3.1.7. Определение степени характеристического уравнения

Степень характеристического уравнения равна числу основных независимых начальных значений. Основными независимыми начальными значениями называют те токи в индуктивностях и напряжения на емкостях, которые могут быть заданы независимо от других. Остальные независимые начальные условия называют не основными.

С тепень характеристического уравнения определяется после ее максимального упрощения, при замене последовательно соединенных индуктивностей и емкостей на эквивалентные индуктивности и емкости.

Рис. 3.3

Составим независимые начальные условия:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. .

П роизведем замену на эквивалентные емкость и индуктивность:

; ; .

Составим независимые начальные условия:

1. ,

2. ,

3. .

Степень характеристического уравнения равна трем.

3.1.8. Свойства корней характеристического уравнения

Число корней характеристического уравнения равно степени этого уравнения.

Уравнение первой степени всегда имеет отрицательный действительный корень.

Уравнение второй степени может иметь:

1. два действительных неравных отрицательных корня,

2. два действительных равных отрицательных корня,

3. два комплексно сопряженных корня с отрицательной действительной частью.

Уравнение третьей степени может иметь:

1. три действительных неравных отрицательных корня,

2. три действительных отрицательных корня, два из которых равны друг другу,

3. три действительных равных отрицательных корня,

4. один действительный отрицательный корень и два комплексно - сопряженных с отрицательной действительной частью.

3.1.9. Характер свободного процесса при одном корне

Если характеристическое уравнение имеет один корень, то свободный процесс выражается так:

, (3.8)

где зависит только от параметров цепи, А - от параметров цепи, ЭДС и момента включения.

При А0 характер изменения свободного процесса показан на рис. 3.5.а и является апериодическим, монотонно убывающим. Касательная, проведенная к точке свободного процесса до пересечения с осью абсцисс, образует отрезок времени равный , и называется постоянной времени цепи; зависит от параметров схемы и ее вида.

При А0 характер изменения свободного процесса станет монотонно возрастающим (рис. 3.5.б).