2.4.3. Примеры расчета цепей при резонансе

Пример 1.

М аксимальное значение тока в цепи (рис.2.24) достигается при емкости С = 15,9мкф, при этом напряжение на емкости U_C в 10 раз превышает приложенное. Определить сопротивление R и индуктивность L, если частота f₀ = 1 кГц.

Решение:

Поскольку ток в цепи с последовательным соединением R, L, С достигает максимального значения, то имеет место резонанс напряжений, при котором:

Находим индуктивность

мГн.

Так как U_C превышает U в 10 раз, то Q = ,откуда найдем активное сопротивление

Ом.

Пример 2. К цепи (рис.2.25) приложено напряжение . Индуктивность L = 32 мГн, активное сопротивление цепи R = 12 Ом. При резонансе определить величину емкости С, показания амперметров, реагирующих на действующее значение, и построить векторную диаграмму токов.

Р ешение:

Условие резонанса токов:

Откуда и

мкФ.

Токи ветвей:

А;

А;

А.

П оказания амперметров А₁, А₂, А₃ соответственно 3, 4, 5 А.

Результаты расчета показывают, что напряжение и ток на входе цепи совпадают по фазе; токи в реактивных элементах превышают общий (входной) ток. Векторная диаграмма приведена на рис.2.26.

Пример 3. В цепи рис.2.27: R = 50 Ом, Х_L = 100 Ом. Определить емкостное сопротивление Х_с, входное сопротивление цепи и величину емкости при резонансе на частоте f₀ = 50 Гц.

В этой цепи резонанс напряжений возникает при равенстве сопротивления емкости Х_с и индуктивного сопротивления параллельного участка (рис.2.28).

Рис. 2.27	Рис. 2.28

Входное сопротивление цепи

При резонансе сопротивление емкости

Ом.

Входное сопротивление цепи

Ом.

Величина емкости

; .

2.4.4. Задачи для самостоятельного решения

1) В цепи с последовательно соединенными R, L, C наступает резонанс напряжений при угловой частоте 500 рад/с; R = 34 Ом; L = 400 мГн; напряжение на зажимах цепи В. Определить С и мгновенные значения тока и напряжений на элементах цепи; построить векторную диаграмму.

Ответ:

С = 10 мкФ;	A;
B;	B;
B.

2) Цепь состоит из индуктивной катушки (R , L) и емкости, соединенных последовательно. Напряжение на зажимах цепи равно 120 В. Определить напряжение на катушке при резонансе, если при этом напряжение на емкости равно 208 В.

Ответ: U_к = 240 В.

3) Вычислить резонансную угловую частоту ω₀ в цепи с последовательно соединенными R = 50 Ом, L =10 мГн и С = 1 мкФ.

Ответ: ω₀ = 10000 рад/с.

4) Вычислить резонансную частоту и добротность контура, состоящего из последовательно соединенных R = 5,1 Ом; L = 65·10^-6 Гн; C = 1,56·10^-9 Ф.

Ответ: f₀ = 5·10⁵ Гц; Q = 40.

5) Найти минимальное значение С, при котором наступит резонанс в цепи (см. рис. 2.20,г), если R₁ = 5 Ом, L = 50 мГн, R₂ =10 Ом, f₀ = 50 Гц. Определить сопротивление цепи при резонансе.

Ответ: С = 153 мкФ; Z = R =25,1 Ом.

6) В цепи (см. рис. 2.20,6) имеет место резонанс при ω₀ = 10⁴ рад/с,

R = 10 Ом, L = 5 мГн, = 100 В. Определить величину С и комплексные действующие значения токов.

Ответ: С = 1,92 мкФ, = 0,385 А,

А, А.

7) В цепи (см. рис. 2.20 ,в) имеет место резонанс при ω₀ = 200 рад/с,

L = 2 Гн, C = 25 мкФ. Определить величину R.

Ответ: R = 200 Ом.

8) В цепи (см. рис. 2.20,в) имеет место резонанс при ω₀ = 200 рад/с,

C = 25 мкФ, R = 200 Ом. Определить величину L.

Ответ: L = 2 Гн.