2.3. Задание № 3 на анализ цепи синусоидального тока при наличии взаимной индуктивности

2.3.1. Условие задачи

В электрической цепи (рис.2.20) с двумя источниками синусоидальной ЭДС одна из катушек имеет индуктивные связи с двумя другими катушками.

Требуется: составить систему уравнений по законам Кирхгофа для определения комплексных действующих значений токов ветвей.

2.3.2. Методические указания

Приведенная в задании электрическая цепь является двухконтурной цепью с двумя магнитными связями. Расчет цепи производится по законам Кирхгофа или методом контурных токов аналогично предыдущей задаче.

Отличие состоит в необходимости учета в уравнениях напряжения взаимной индукции, обозначаемого в общем случае , где М – взаимная индуктивность. Если известны собственные индуктивности, например, L₁ и L₂ магнитно-связанных катушек и коэффициент связи k, то

1		6
2		7
3		8
4		9
5		10
Рис. 2.12

П ри составлении уравнений для магнитно-связанных цепей необходимо знать, согласно или встречно направлены потоки самоиндукции и взаимоиндукции. Сделать правильный вывод об этом можно, если известны направления намотки катушек на сердечниках и выбраны положительные направления токов в них. На схемах одноименные зажимы магнитно-связанных катушек обычно помечают точками. Если токи катушек одинаково ориентированы относительно одноименных зажимов, то имеет место согласное включение катушек (рис. 2.13,а,б), в противном случае – встречное включение (рис. 2.13,в,г).

Выбор знака напряжения зависит от направлений токов в магнитно-связанных катушках и обхода контуров. В одноконтурных схемах при согласном включении катушек напряжение взаимной индукции записывается со знаком "плюс", при встречном - "минус". В многоконтурных схемах при составлении уравнений по законам Кирхгофа правило следующее: если направление обхода контура в одной из двух магнитносвязанных катушек и направление тока в другой одинаково ориентированы относительно одноименных зажимов, то напряжение взаимной индукции в первой катушке положительно, в противном случае - отрицательно. Поясним примером (рис. 2.14).

Для краткости назовем условно зажим катушки, помеченный точкой, началом катушки, зажим без точки - концом катушки. Выберем направления токов ветвей и обхода контуров. Очевидно, что для определения трех токов достаточно трех уравнений по законам Кирхгофа, из которых одно составляется по первому закону, два - по второму. В комплексной форме имеем:

Рис. 2.14

Обратим внимание, что в катушке L₂ три слагаемых напряжения: одно создано в результате явления самоиндукции от протекания тока и два – взаимоиндукции от протекания тока i₁ в катушке L₁, индуктивно-связанной с L₂ параметром и тока i₃ в L₃, связанной с L₂ параметром (соответственно 2, 7 и 8-е слагаемые во втором уравнении и 6, 7 и 8-е - в третьем уравнении приведенной системы).

Рассмотрим выбор знаков некоторых слагаемых, например, в последнем уравнении. Шестое слагаемое записано со знаком "минус", поскольку направления обхода второго контура и тока в катушке L₂ встречные. Седьмое слагаемое имеет знак "плюс", так как обход этого контура производится со стороны начала катушки L₂ и ток , вызывающий данное напряжение через связь , входит в начало катушки L₁. Девятому слагаемому присвоен знак "минус", поскольку обход контура производится со стороны начала катушки L₃, а ток , создающий это напряжение через связь М₂₃, , входит в конец катушки L₂.