Лекция 11. Алгоритмы с возвратом

Чтобы определить, что яйцо тухлое, необязательно есть его до конца (народная мудрость).

Вернемся к задаче существования ГАМИЛЬТОНОВА ПУТИ — пути, проходящего через каждую вершину графа ровно один раз. В предыдущей главе было упомянуто, что для такой задачи не построен полиномиальный алгоритм. Попробуем произвести полный перебор всех возможных путей. n вершин графа можно расположить в n! различных цепочек. Чтобы проверить для каждой цепочки, реализована ли она как гамильтонов путь на графе, необходимо еще n шагов, итого сложность полного перебора n*n! шагов.

Такая величина растет гораздо быстрее экспоненты, поэтому полный перебор является неприменимым методом. Однако число шагов в алгоритмах переборного типа можно значительно уменьшить.

ОБЩАЯ СХЕМА АЛГОРИТМА С ВОЗВРАТОМ.

Пусть решение, которое мы ищем, имеет вид последовательности <X(1), …, X(n)>.

Будем строить его, начиная с пустой последовательности длины 0.

Пусть на каком-то этапе уже построено ЧАСТИЧНОЕ (неполное) решение длины i: < X(1), …, X(i) >.

Попытаемся продолжить это решение еще на один шаг. Для этого нужно отыскать допустимое X(i+1). X(i+1) считается допустимым, если или < X(1), …, X(i+1) > уже является решением, или относительно < X(1), …, X(i+1) > НЕЛЬЗЯ СРАЗУ сказать, что его невозможно расширить до полного решения.

Дальше существует две возможности:

если X(i+1) допустимо, то следующее допустимое X ищется для частичного решения <X(1), …, X(i+1)> (заметим, что допустимость X(i+1) вовсе не означает, что <X(1), …, X(i+1)> можно расширить до полного решения);

если допустимого X(i+1) не существует, то возвращаемся на шаг назад — к частичному решению < X(1), …, X(i-1) > и для него отыскиваем другое X'[i], не совпадающее с предыдущим X(i).

Более точно, пусть для каждого i>0 существует множество A(i), из которого будут выбираться X(i) — претенденты на i–тую координату частичного решения.

Очевидно, множества A(i) должны содержать все X(i), занимающие i-ю координату любого решения. Кроме того, A(i) всегда будут содержать какие-то лишние злементы, не содержащие в i–й координате ни одного решения.

Теперь общая схема алгоритма с возвратом имеет следующий вид:

1 begin

2 k:=1;

3 while k>0 do

4 if существует еще неиспользованый y  A(k), являющийся допустимым then

5 begin

6 X(k):=y ; {y испсльзован}

7 if <X(1), …, X(k)> является решением then write (<X(1), …, X(k)>);

8 k:=k+1

9 end

10 else {возврат на предыдущее частичное решение, все элементы A(k) становятся неиспользоваными}

11 k:=k-1

12 end.

Если предположить, что все решения имеют длину, меньшую n+1, и все множества A(k) состоят из конечного числа элементов, то этот алгоритм находит ВСЕ решения.

Тот же самый алгоритм можно очень просто записать с помощью рекурсии.

{рекурсивный вариант алгоритма с возвратом}

1 procedure BC(k);

{генерируем все решения, являющиеся продолжением частичного решения < X(1), …, X(k-1) >, массив Х — глобальный}

2 begin

3 for y  A(k) do

4 if y допустим then

5 begin

6 X(k):=y;

7 if <X(1), …, X(k)> — решение then

8 write (<X(1), …, X(k)>);

9 BC(k+1); {генерируем все решения, являющиеся продолжением частичного решения < X(1),…,X(k-1), y >}

10 y становится неиспользованным; {возврат на <X(1), …, X(k-1)>}

11 end {цикл 3 выберет для продолжения < X(1), …, X(k-1) > следующий y', не равный y}

12 end;

Генерировать все решения можно вызовом ВС(1). Описание алгоритма возврата мы начали с несколько более сложного нерекурсивного варианта, т.к. в рекурсивном варианте «возврат» является частью механизма рекурсии и не появляется в явном виде.

ЗАДАЧА ГАМИЛЬТОНА

Применим теперь алгоритм с возвратом для поиска всех гамильтоновых циклов в графе G=<V,E>. Каждый такой цикл — последовательность различных вершин графа < X(1), …, X(n+1) > и только X(1)=X(n+1)=k, где k — произвольная фиксированная вершина, соседние вершины X(i), X(i+1) соединены ребром.

Тогда A(i) = V (множество всех вершин) для любого i <= n+1 ;

y — допустима для продолжения <X(1), …, X(i-1)>, если

y  ЗАПИСЬ[ X(i-1) ] (y соединен ребром с X(i-1)) и

y не использована (y не принадлежит <X(1), …, X(i-1)>)

АЛГОРИТМ. {Нахождение всех гамильтоновых циклов в графе}

Данные: Граф G=<V,E>, представленный списками ЗАПИСЬ[v], v  V.

Результаты: Печать всех гамильтоновых циклов графа G.

Переменные ЗАПИСЬ, X, DOP — глобальные.

1 procedure GAMI(i);

{генерирование всех гамильтовых циклов, являющихся продолжением частичного решения <X[1], …, X[i-1]>}

2 begin

3 for y Є ЗАПИСЬ[X[i-1]] do

4 if (i = n+1) AND (y = k) then

5 write(X[1], …, X[n], k)

6 else if DOP[y] then

7 begin

7 X[i]:=y; DOP[y]:=ложь;

8 GAMI(i+1);

9 DOP[y]:=истина;

{все решения, продолжающие < X[1], …, X[i-1], y > уже сгенерированы, выбираем другое y', а y вновь становится неиспользованным}

10 end

11 end;{GAMI}

1 begin {основная программа}

2 for v Є V do DOP[V]:=истина;

3 X[1]:=k ; {k — произвольная}

4 DOP[k]:=ложь;

5 GAMI(2);

6 end.

Рис. 26

Сложность этого алгоритма в наихудшем случае растет по экспоненте с ростом n.

Это справедливо и для случая, когда ищется ровно одно решение (если задача не имеет решения, то эта модификация не влияет на ход выполнения алгоритма).

?Вопрос1. Докажите, представив соответствующий «плохой» граф, что число шагов в алгоритме «GAMI» растет экспоненциально с ростом n.

Ответы

Ответ 1. Граф типа «погремушка». Такой граф не содержит ни одного гамильтонова цикла, в то же время все вершины, кроме V₀, соединены и представляют собой клику, т.е. граф, у которого все вершины соединены попарно. Всего различных путей будет n!, а для проверки каждой u_j из них потребуется n шагов, итого nn!, что растет быстрее экспоненты.

Рис. 27