Лекция 1. Введение

А зачем мне все это нужно? (Из частной беседы)

Действительно, зачем программисту теория графов?

Во-первых, графы могут рассматриваться как модели самих программ, данных и процессов. Э. Дейкстра высказал однажды такую мысль: при грамотном программировании на тысячу строк программного текста нужно написать в десять раз больше рассуждений и доказательств, гарантирующих применимость программы.

Во-вторых, графы служат удобной структурой данных для представления объектов обработки информации. Расширение традиционного круга задач, решаемых на ЭВМ (перевод текста, распознавание речи, составление расписаний, игровые программы, экспертные и информационные системы и т.д.), за последние несколько десятков лет превратили комбинаторику и теорию графов в основной инструмент решения огромного числа задач.

В этой работе будут рассмотрены основные методы конструирования алгоритмов на графах, в особенности, методы систематического обхода графа. Также будут рассмотрены несколько задач, являющихся модельными для большого класса задач.

Для них будут даны: алгоритм решения + анализ его вычислительной сложности. Алгоритмы представляют собой сжатые варианты программ, написанных на языке ПАСКАЛЬ.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ СЛОЖНОСТЬ равна числу элементарных шагов, выполняемых алгоритмом в самом плохом случае, и зависит от размерности входных данных.

Объясним более точно, что подразумевается под «элементарным шагом».

Допустим, что транслятор типичной ЭВМ переводит программу в машинный язык, имеющий арифметические операции, условные переходы, операции ввода-вывода, команды переноса из памяти в буфер и т.д.. Выполнение любой такой операции будем считать ЭЛЕМЕНТАРНЫМ ШАГОМ.

Очевидно, что сложность алгоритма будет зависеть от конкретного транслятора. Однако нас будет интересовать не абсолютная сложность, а с точностью до умножения на произвольную постоянную. Другими словами, нас интересует, как быстро растет сложность при неограниченном увеличении размерности входных данных. Такая сложность называется АСИМПТОТИЧЕСКОЙ и не зависит от способа трансляции.

Будем использовать следующие обозначения.

Пусть f(n) и g(n) — неотрицательные функции, n — размерность задачи, C>0 — некоторая постоянная. Тогда f(n) имеет порядок О(g(n)), если f(n)Cg(n) для всех n, больших некоторого номера. Читается это так: «f(n) порядка не более, чем g(n)». Определенная таким образом сложность иногда называется ВРЕМЕННОЙ, в отличие от сложности по памяти.

Лекция 2. Графы и деревья

И молвил Морж: «Пришла пора Подумать о делах О башмаках и сургуче, Капусте, королях…» Льюис Кэррол «Алиса в Зазеркалье».

Этот рассказ о графах и деревьях будет не менее краток, чем тот, который услышали устрицы о королях и капусте.

Здесь будут даны лишь основные определения теории графов. Желающих ознакомиться с графами более подробно отошлем к книге О. Оре «Графы и их применение» или к любом учебнику по дискретной математике. Итак, нанесем на плоскость несколько точек и некоторые из них соединим попарно:

Рис. 1

У нас получился ГРАФ. Точки изображают вершины,а соединяющие их линии соответствуют ребрам. Дадим имена вершинам и запишем математическое определение графа.

НЕОРИЕНТИРОВАННЫМ ГРАФОМ будем называть такую произвольную пару G=<V, E>, что E Í {(u-v): u, v V и u v}.

V — множество вершин, Е — множество ребер графа G. Наш рисунок — это изображение графа на плоскости.

Если граф на плоскости можно изобразить так, чтобы его ребра пересекались только в вершинах, он называется ПЛАНАРНЫМ или ПЛОСКИМ.

Если ребро е графа G соединяет две вершины u и v, то будем говорить, что u и v смежны между собой.

СТЕПЕНЬ ВЕРШИНЫ определим как число ребер, смежных ей.

Вершину нулевой степени будем называть ИЗОЛИРОВАННОЙ (V₅ на рис. 1).

?Bопрос 1. Чему равна степень вершины V₃ на рис. 1?

ПУТЕМ в графе G=<V, E> назовем последовательность вершин V₁, V₂, …, V_k такую, что k 0 и любые две соседние вершины соединены ребром. Для неориентированных графов вместо термина «путь» часто используют термин «ЦЕПЬ». Вершины V₀ и V_k будем называть НАЧАЛО и КОНЕЦ пути, k-длиной пути.

Путь, начало и конец которого совпадают, назовем ЦИКЛОМ.

Если все ребра пути (цикла) различны, будем говорить о ПРОСТОМ ПУТИ (ЦИКЛЕ).

Если все вершины V₁ … V_k различны, будем говорить об ЭЛЕМЕНТАРНОМ ПУТИ.

Если вершины цикла, кроме V₁=V_k, различны, получим ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ЦИКЛ.

?Вопрос 2. Перечислите все элементарные циклы графа G на рис. 1.

ПОДГРАФОМ G' графа G будем называть такой произвольный граф G'=<V', E'>, что V' Í V и E' Í E.

Если для любой пары вершин существует путь, их соединяющий, граф СВЯЗНЫЙ.

У НЕСВЯЗНОГО графа не все вершины можно соединить путем с фиксированной вершиной А. Те вершины, которые можно соединить путем с А, и смежные им ребра образуют СВЯЗНУЮ КОМПОНЕНТУ вершины А. Граф на рис. 1 двусвязен.

?Вопрос 3. Перечислите элементы, входяшие в компоненты связности графа G (рис. 1).

ДЕРЕВОМ называется связный граф, не содержащий циклов.

Рис. 2

?Вопрос 4. Сколько ребер у дерева с 9 вершинами?

Ответы.

Ответ 1. 4.

Ответ 2. (V₂-V₄-V₃-V₂), (V₂-V₁-V₄-V₃-V₂), (V₂-V₁-V₃-V₂), (V₄-V₃-V₁-V₄), (V₂-V₄-V₁-V₃-V₂), (V₂-V₄-V₁-V₂), (V₁-V₂-V₄-V₃-V₁).

Ответ 3. 1 компонента = вершины {V₁, V₂, V₃, V₄, V₆} и соединяющие их ребра. 2 компонента = {V₅}.

Ответ 4. Дерево с 2-мя вершинами имеет одно ребро. Всякий раз, присоединяя к дереву следующую вершину, присоединяем одно ребро. Для дерева m = n-1. Для n=9: m=8.