3.2.6 Определение внутренних напряжений в компонентах

КМ с учетом структуры при поперечном растяжении

Определение максимальных напряжений в матрице изложим в соответствии с работой [26], в которой на основе методов сопротивления материалов приводится в феноменологическом аспекте теория напряженно-деформированного состояния армированных пластиков с учетом структуры материалов, упругих и прочностных свойств его компонентов, их фактического (с точностью принятой модели) напряженного состояния.

При определении поля внутренних напряжений в компонентах однонаправленного композита используется метод тонких сечений, суть которого заключается в следующем.

Однонаправленный композит представляется в виде регулярной струк­туры равномерно распределенных в матрице прямолинейных волокон (рис. 3.26). В этой модели композита выделяется повторяющийся элемент, представляющий собой волокно, окруженное матрицей (рис. 3.26, б, в).

Предпосылки, которые используются в вышеприведенной модели:

1. Компоненты композита (волокно и матрица) линейно упругие.

2. Матрицы являются изотропными, а волокна – трансверсально изотропным материалом.

3. Волокна имеют круглое поперечное сечение и распределены равномерно.

4. Различного рода микродефекты компонентов (искривления волокон, трещины и т.п.) не оказывают существенного влияния на напряжения в композитах.

5. Оба компонента являются однородными материалами и деформируются совместно.

Как видим, вышеприведенные предпосылки принимаются всегда при определении напряжений в компонентах независимо от метода, применяемого при решении задачи.

Повторяющийся элемент abcd гипотетически разрезается на тонкие слои толщиной dy плоскостями, параллельными плоскости армирования и направлению действия поперечной нагрузки. Один такой i-й слой произвольно малой толщины представлен на рис. 3.26, в. Он содержит смолу и волокно в чередующемся порядке.

К расчетной схеме (рис. 3.26) однонаправленного композита в направлениях, параллельном и перпендикулярном армированию, приложены средние напряжения и. В расчетной схеме принята регулярная структура армирующего материала относительно осейх и у. Поэтому стороны повторяющегося ab, bc, cd, da после деформирования должны остаться параллельными первоначальному недеформированному положению.

a

Рис. 3.26 Расчетные схемы: а - для композитного материала;

б - для повторяющегося элемента;

в - вырезанный из него слой произвольно малой толщины

Из этого следует, что деформации элемента abcd в направлении х и у остаются постоянными:

	(3.26)
	(3.27)

При разделении повторяющегося элемента на тонкие слои напряжения ,в отдельных точках (слоях) будут зависеть от координатх и у.

В сечениях элемента, параллельных координатным плоскостям, должны выполняться условия равновесия

В направлении армирования должны соблюдаться условия равновесия и условия неразрывности деформации:

Для определения _x , _y , _z , _x , _z разрежем элемент abcd (см. рис. 3.26) на тонкие слои толщиной dy. Обозначим упругие характеристики рассматриваемого слоя соответственно через .

Связь между напряжениями и деформациями в тонком слое имеет вид

	(3.28)
	(3.29)

Далее считаем, что в направлении х напряжение в арматуре и матрице одинаково, а деформации различны. В направлении z предполагаем, что деформации в матрице и арматуре одинаковы, а напряжения различны. Эти допущения имеют вид:

(3.30)

Напряжения и деформации, входящие в эту систему уравнений, являются средними, действующими в компонентах слоя dy на расстоянии у от оси х. Объемное содержание арматуры _у в таком слое определяется из схемы, представленной на рис. 3.26:

Учитывая, что

и

получаем

(3.31)

где .

Для определения напряжений и деформаций в компонентах представим их законы деформирования в виде:

а) для изотропной полимерной матрицы -

в направлении у

(3.32)

б) для трансверсально изотропной арматуры -

(3.33)

Решая линейно алгебраическую систему, состоящую из уравнений (3.30), (3.32), (3.33), получаем выражения для определения напряжений в компонентах в направлениях у и z.

	(3.34)
	(3.35)

В эти зависимости введены следующие обозначения:

Для определения деформаций в направлении х используем законы деформирования и условие неразрывности деформаций в направлении оси х:

(3.36)

Решая систему (3.36) и учитывая уравнения (3.34) и (3.35) для _Ау и _Аz , получаем

Для определения деформации используем следующие соотношения:

(3.38)

Учитывая ранее полученные выражения для напряжений _му и _мz , имеем

Приравнивая коэффициенты в зависимостях (3.28) и (3.37) и учитывая, что , получим

	(3.40)
	(3.41)

Подобным образом, используя зависимости (3.29) и (3.39), находят выражения для и:

	(3.42)
	(3.43)

Из системы уравнений (3.28) и (3.29) определяются _х и _z :

Введем обозначения:

Используя обобщенный закон Гука для однонаправленно-арми­рованного материала при двухосном нагружении:

	(3.44)
	(3.45)

и учитывая, что

получим окончательные выражения для _х = _мх и _z :

	(3.46)
	(3.47)

Модули упругости Е₁ , Е₂ и коэффициент Пуассона ₂₁ определяются по формулам,приведенным в разделе 3 .

Коэффициент Пуассона ₁₂ определяется из условия ортотропности:

Если , то зависимости (3.46) и (3.47) принимают вид

	(3.48)
	(3.49)

В аналогичной форме могут быть переписаны также зависимости для _Ау и _Аz :

(3.50)

(3.51)

Безразмерные параметры , входящие в формулы (3.48) - (3.49), учитывают структуру материала (свойства волокон и связующего, объемное содержание волокон и их упаковки). Эти параметры определяются по следующим зависимостям:

	(3.52)
	(3.53)
	(3.54)
	(3.55)

где

Формулы (3.48), (3.50) и (3.51) дают возможность определить напряжения в полимерном связующем и на контактной поверхности _мх , _му и _мz при любом значении координаты у.

Если нагрузка приложена только в направлении оси х, то наибольшими напряжениями будут напряжения _Ах , которые достигают наибольших значений при у = 0.