Черников Ю.Г. Методы оптимизации. Мето­дические указания по

выполнению лабораторных работ. − М.: МГГУ, 2005. – 37 с.

В работе рассмотрены математические модели общих задач нелинейного программирования, а также задач безусловной минимизации функций многих переменных.

Изложены методики решения задач нелинейного программирования и задач безусловной минимизации функций многих переменных методами нулевого, первого и второго порядка.

Приведены подробные методические указания и конкретные примеры для решения различных тестовых задач нелинейного программирования и безусловной минимизации с использованием как современных пакетов прикладных программ и Java Applets, так и математической системы MathCad.

Список литературы – 5 наименований

© Московский государственный

горный университет, 2005

Содержание

Стр.

Введение 4

1. Лабораторная работа № 1 (2 часа)

Решение задач нелинейного (сепарабельного) программирования

методом кусочно – линейной аппроксимации с использованием

пакета прикладных программ 5

3. Лабораторная работа № 2 (2 часа)

Решение задач квадратического программирования (ЗКП) 11 3. Лабораторная работа № 3 (2 часа)

Классический метод решения задач безусловной минимизации

(оптимизации) с использованием системы MathCad 2000 16

4. Лабораторная работа № 4 (2 часа)

Решение задач безусловной минимизации функций многих

переменных методом деформируемого многогранника

с использованием Java Applet 21

5. Лабораторная работа № 5 (2 часа)

Решение задач безусловной минимизации методом сопряженных

градиентов с использованием системы Mathcad 24

6. Лабораторная работа № 6 (2 часа)

Решение задач безусловной минимизации квазиньютоновским

методом с использованием MathCad 27

7. Лабораторная работа № 7 (2 часа)

Решение задач одномерной минимизации методом золотого

сечения с использованием Excel 30

8. Лабораторная работа № 8 (2 часа)

Решение задач безусловной минимизации функций многих

переменных методом Левенберга - Марквардта с использованием

системы Mathcad 33

Список литературы и использованные источники 37

Введение

В настоящей работе приведены описания лабораторных работ по дисциплине “Методы оптимизации“ для студентов, обучающихся по направлению 552800 – “Информатика и вычислительная техника” и направлению 654600 – “Информатика и вычислительная техника” по специальности 230102 – “Автоматизированные системы обработки информации и управления (АС)”.

Рассмотрены модели нелинейного программирования, в том числе задачи квадратического программирования, решенные методом кусочно – линейной аппроксимации и методом, использующим симплексные преобразования с помощью пакета прикладных программ Lindo.

Поставлены и решены различные задачи безусловной минимизации функций многих переменных различными методами нулевого, первого и второго порядка с использованием математической системы Mathcad.

Поставлена и решена методом золотого сечения задача одномерной минимизации.

Все задачи решаются на локальноv компьютере с помощью таких распространенных современных программных средств, как пакет прикладных программ Lindo и математическая система MathCad, а также с помощью Java Applets в интерактивном режиме.

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 1 (2 часа)

Решение задачи нелинейного (сепарабельного) программирования методом кусочно – линейной аппроксимации с использованием пакета прикладных программ

Цель работы – изучение метода кусочно – линейной аппроксимации решения задач нелинейного (сепарабельного) программирования, приобретение практических навыков подготовки файла исходных данных конкретной задачи и ее решения с использованием современного пакета прикладных программ, анализ результатов решения.

1. Математическая постановка общей знп (сепарабельного программирования)

Функция F(x₁, x₂,..., x_n) называется сепарабельной, если она может быть представлена в виде суммы функций, каждая из которых является функцией одной переменной

Приближенным методом решения ЗНП с сепарабельными функциями является метод кусочно-линейной аппроксимации.

Математическая постановка (математическая модель) общей

задачи нелинейного программирования с сепарабельными функциями может быть сформулирована следующим образом.

Определить оптимальные значения переменных x₁, ... , x_n максимизирующих целевую функцию

при выполнении системы линейных ограничений

,

где f_j и g_ij – нелинейные функции, в частном случае некоторые из которых линейные.

В основу приближенных методов положена кусочно-линейная аппроксимация функций f_j(x_j) и g_ij(x_j). В результате этого получается приближенная задача, которая может быть решена симплексными методами При этом определяется приближенный локальный экстремум, а при выпуклости или вогнутости целевой функции находится глобальный экстремум.

2. Методические указания по подготовке и решению тестовой знп

В качестве тестовой задачи сепарабельного программирования рассмотрим задачу, математическая постановка которой заключается в следующем.

Определить оптимальные значения переменных х₁ и x₂, минимизирующих целевую функцию

Z = x₂ – x₁² + 6x₁ – 9

при выполнении системы линейных ограничений

2x₁ + 3x₂ ≤ 24

x₁ + 2x₂ ≤ 15

3x₁ + 2x₂ ≤ 24

x₂ ≤ 4

x₁ ≥ 0

x₂ ≥ 0

Для выполнения данной работы необходимо выполнить следующие действия:

1. Целевая функция (исходя из ее вида) представляется в виде суммы двух функций, каждая из которых является функцией одной переменных x₁ или x₂:

Z = f₁(x₁) + f₂(x₂),

где f₁(x₁) = – x₁² + 6x₁ – 9,

f₂(x₂) = x₂.

Каждая из данных функций - вогнутая.

2. Область допустимых решений (ОДР) – выпуклая.

3. Рассматривается первая функцию f₁(x₁) = x₁² + 6x₁ – 9.

Переменная x₁ может принимать числовые значения, например, в промежутке [0, 8].

4. Разобъем [0, 8] например, на 8 частей.

x₀₁ = 0, x₁₁ = 1, x₂₁ = 2, x₃₁ = 3, x₄₁ = 4, x₅₁ = 5, x₆₁ = 6, x₇₁ = 7, x₈₁ = 8 .

5. Вычисляется значение этой функции в указанных точках

xk1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
f1(xk1)	- 9	- 4	- 1	0	- 1	- 4	- 9	- 16	- 25

6. Составляется функция первой переменной в виде

f₁(x_k1) = – 9λ₀₁ – 4λ₁₁– 1λ₂₁– 0λ₃₁– 1λ₄₁– 4λ₅₁– 9λ₆₁– 16λ₇₁– 25λ₈₁

7. Составляется значение первой переменной в виде

x_k1 = 0λ₀₁ + 1λ₁₁ + 2λ₂₁ + 3λ₃₁ + 4λ₄₁ + 5λ₅₁ + 6λ₆₁ + 7λ₇₁ + 8λ₈₁

8. Математическая постановка данной ЗНП (задачи сепарабельного программирования) заключается в следующем.

Определить оптимальные значения переменных λ₀₁, ... ,λ₈₁, максимизирующие целевую функцию

Z = x₂ +( – 9λ₀₁ – 4λ₁₁– 1λ₂₁– 0λ₃₁– 1λ₄₁– 4λ₅₁– 9λ₆₁– 16λ₇₁– 25λ₈₁)

при выполнении системы линейных ограничений

2x₁ +3x₂ + x₃ = 24

x₁ +2x₂ + x₄ = 15

3x₁ +2x₂ + x₅ = 24

x₂ + x₆ = 4

λ₀₁ + λ₁₁ + λ₂₁ + λ₃₁ + λ₄₁ + λ₅₁ + λ₆₁ + λ₇₁ + λ₈₁ = 1

или, подставляя соответствующие значения x₁, получаем модель этой ЗНП в следующей форме

Определить оптимальные значения переменных λ₀₁, ... ,λ₈₁, максимизирующих целевую функцию

Z = x₂ + ( – 9λ₀₁ – 4λ₁₁– 1λ₂₁– 0λ₃₁– 1λ₄₁– 4λ₅₁– 9λ₆₁– 16λ₇₁– 25λ₈₁)

при выполнении системы линейных ограничений

2(0λ₀₁ + 1λ₁₁ + 2λ₂₁ + 3λ₃₁ + 4λ₄₁ + 5λ₅₁ + 6λ₆₁ + 7λ₇₁ + 8λ₈₁) + 3x₂ + x₃ = 24

(0λ₀₁ + 1λ₁₁ + 2λ₂₁ + 3λ₃₁ + 4λ₄₁ + 5λ₅₁ + 6λ₆₁ + 7λ₇₁ + 8λ₈₁) + 2x₂ + x₄ = 15

3(0λ₀₁ + 1λ₁₁ + 2λ₂₁ + 3λ₃₁ + 4λ₄₁ + 5λ₅₁ + 6λ₆₁ + 7λ₇₁ + 8λ₈₁) + 2x₂ + x₅ = 24

x₂ + x₆ = 4

λ₀₁ + λ₁₁ + λ₂₁ + λ₃₁ + λ₄₁ + λ₅₁ + λ₆₁ + λ₇₁ + λ₈₁ = 1

7. Для решения данной задачи выберем какой – либо пакет прикладных программ, например, ППП Lindo и наиболее простой алгебраический формат ввода исходных данных.

Составление файла исходных данных в алгебраическом формате или в упрощенном алгебраическом формате осуществляется в соответствии с требованиями к формированию файла в этом формате, определяемыми пакетом прикладных программ Lindo. Для этого необходимо вызвать какой - либо текстовый редактор, например Notepad, и ввести данную тестовую задачу в форме, учитывающей требования алгебраического формата рассматриваемого пакета прикладных программ Lindo к вводу исходных данных в алгебраическом формате.

Искомыми оптимизируемыми переменными являются λ₀₁, ... , λ₈₁.

С учетом математической модели выше тестовую ЗНП необходимо представить в виде:

max Z = x₂ + (– 9λ₀₁ – 4λ₁₁– 1λ₂₁– 0λ₃₁– 1λ₄₁– 4λ₅₁– 9λ₆₁– 16λ₇₁– 25λ₈₁

subject to

2(0λ₀₁ + 1λ₁₁ + 2λ₂₁ + 3λ₃₁ + 4λ₄₁ + 5λ₅₁ + 6λ₆₁ + 7λ₇₁ + 8λ₈₁) + 3x₂ + x₃ = 24

(0λ₀₁ + 1λ₁₁ + 2λ₂₁ + 3λ₃₁ + 4λ₄₁ + 5λ₅₁ + 6λ₆₁ + 7λ₇₁ + 8λ₈₁) + 2x₂ + x₄ = 15

3(0λ₀₁ + 1λ₁₁ + 2λ₂₁ + 3λ₃₁ + 4λ₄₁ + 5λ₅₁ + 6λ₆₁ + 7λ₇₁ + 8λ₈₁) + 2x₂ + x₅ = 24

x₂ + x₆ = 4

λ₀₁ + λ₁₁ + λ₂₁ + λ₃₁ + λ₄₁ + λ₅₁ + λ₆₁ + λ₇₁ + λ₈₁ = 1

end

9. Сохранить этот файл исходных данных и изменить расширение с .txt на .ltx.

10. Запустить пакет на решение и получить результаты. По полученным

численным значениям λ₀₁, ... ,λ₈₁ вычислить численное значение искомой переменной x₁. Численное значение искомой переменной x₂ будет вычислено программным способом.

11. Составление файла исходных данных возможно осуществить в MPS – формате также в соответствии с требованиями к формированию файла в этом формате.

3. Методические указания по решению

индивидуальной контрольной задачи

1. Получить у преподавателя, проводящего занятия, сепарабельную функцию.

2. Решить данную задачу в соответствии с вышеизложенной методикой.

3. Распечатать результаты решения задачи с выполнением всех команд меню Reports ППП Lindo.

4. Методические указания по выполнению

лабораторной работы

1. Первоначально необходимо изучить формат ввода исходных данных (алгебраический формат, MPS – формат) для ввода исходных данных в компьютер при использовании ППП Lindo.

2. Изучить основные стандартные команды меню File, Solve и других ППП Lindo.

3. Решить тестовую задачу сепарабельного программирования.

4. Решить индивидуальную контрольную задачу.

5. Составить отчет по выполненной лабораторной работе.