44. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными остатками.

Обнаружение гетероскедастичности. Для обнаружения гетероскедастичности обычно используют три теста, в которых делают­ся различные предположения о зависимости между дисперсией случайного члена и объясняющей переменной: тест ранговой корреляции Спирмена, тест Голдфельда— Квандта и тест Глейзера.

При малом объеме выборки для оценки гетероскедастичности может использоваться метод Голдфельда— Квандта.

Данный тест используется для проверки такого типа гетеро­скедастичности, когда дисперсия остатков возрастает пропорци­онально квадрату фактора. При этом делается предположение, что случайная составляющая распределена нормально.

Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности по тесту Голд­фельда— Квандта, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Упорядочение п наблюдений по мере возрастания перемен­ной х.

2. Разделение совокупности на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора х) и определение по каждой из групп уравнений регрессии.

1. Определение остаточной суммы квадратов для первой регрессии и второй регрессии

3. Вычисление отношений (или наоборот) в числителе д.б. сумма квадратов. Полученное отношение имеет F распределение со степенями свободы k₁=n₁–m и k₂=n–n1–m (где m – число оцениваемых парметров в уравнении регрессии).

Если , то гетероскедастичность имеет место.

Чем больше величина F превышает табличное значение F-критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

================================================================

41. 44. Проверка выполнения предпосылок мнк. Обнаружение гетероскедастичности.

Основную информацию для анализа качества регрессионного уравнения можно получить из ряда остатков. Иногда только по одному графику остатков можно судить о качестве аппроксимации. Остатки модели должны обладать опр. свойствами: несмещенность, состоятельность, эффективность. На практике проверка этих свойств сводится к проверке 5 предпосылок МНК: 1.случайный характер остатков (критерий поворотных точек), 2.независимость уровней в ряде остатков (d-критерий Дарбина-Уотсона), 3.соответствие ряда остатков нормальному закону распределения(RS-критерий), 4.равенство 0 мат. ожидания остатков, 5.гомоскедастичность остатков.

1.Свойство случайности проверяется с помощью критерия поворотных точек или критерия пиков. Уровень в ряде остатков называется поворотной точкой, если он одновременно больше или одновременно меньше 2-ух соседних с ним уровней. Точкам поворота приписывают значения 1, остальным – 0. Свойство случайности выполняется, если количество поворотных точек справа означает, что от выражения внутри них нужно взять целую часть. n – количество уровней в ряде.

2.Для проверки свойства независимости (отсутствие автокорреляции) уровней в ряде остатков используют d-критерий Дарбина-Уотсона. В начале рассчитывают величину d по формуле: . Для этого критерия задаются 2 таблич. границы d₁ и d₂.

3.Для проверки соответствия ряда остатков нормальному закону распределения используют RS-критерий: RS =(E_max-E_min)/S_E. E_max и E_min- соотв. наибольшее и наименьшее значения уровней в ряде остатков. S_E- СКО. Если значение RS попадает в табличный интервал, то ряд остатков распределен по норм. закону.

5.Гомоскедастичность – постоянство дисперсии остатков по отношению к фактическим значениям фактора или показателя. Остатки называются гомоскедастичными, если они сосредоточены в виде горизонтальной полосы около оси x_i, в противном случае остатки называют гетероскедастичными. Для исследования гомоскедастичности применяются различные тесты. Один из них называется тест Голдфельда-Квандта: 1) Упорядочение значений показателя у по степени возрастания фактора х. 2) Из упорядоченной совокупности убирают несколько «с» центральных значений: , р – число оцениваемых в модели параметров. В результате, получается 2 совокупности данных, в одной из них значения фактора будет наименьшими, а в другой – наибольшими. 3) Для каждой совокупности строят модель регрессии, по которой находят остатки: . Пусть S₁ – большая сумма квадратов ошибок, а S₂ – меньшая. 4) Определим отношение . 5) Полученное значение R сравнивают с табличным значением F-критерия Фишера. Если F_табл<R, то предпосылка о гомоскедастичности нарушена. Чем больше R по отношению к F_табл, тем более нарушена данная предпосылка. .

Линейные регрессионные модели с гомоскедастичными и гетероскедастичными, независимыми и автокоррелированными остатками.

Как видно из сказанного выше, основное - это "очистка" временного ряда от случайных отклонений, т.е. оценивание математического ожидания. В отличие от простейших моделей регрессионного анализа, рассмотренных в главе 5, здесь естественным образом появляются более сложные модели. Например, дисперсия может зависеть от времени.

Такие модели называют гетероскедастичными, а те, в которых нет зависимости от времени - гомоскедастичными. (Точнее говоря, эти термины могут относиться не только к переменной "время", но и к другим переменным.)

Далее, в главе 5 предполагалось, что погрешности независимы между собой. В терминах настоящей главы это означало бы, что автокорреляционная функция должна быть вырожденной - равняться 1 при равенстве аргументов и 0 при их неравенстве. Ясно, что для реальных временных рядов так бывает отнюдь не всегда. Если естественный ход изменений наблюдаемого процесса является достаточно быстрым по сравнению с интервалом между последовательными наблюдениями, то можно ожидать "затухания" автокорреляции" и получения практически независимых остатков, в противном случае остатки будут автокоррелированы.

Идентификация моделей. Под идентификацией моделей обычно понимают выявление их структуры и оценивание параметров. Поскольку структура - это тоже параметр, хотя и нечисловой (см. главу 8), то речь идет об одной из типовых задач эконометрики - оценивании параметров.

Проще всего задача оценивания решается для линейных (по параметрам) моделей с гомоскедастичными независимыми остатками. Восстановление зависимостей во временных рядах может быть проведено на основе методов наименьших квадратов и наименьших модулей, рассмотренных в главе 5 моделей линейной (по параметрам) регрессии. На случай временных рядов переносятся результаты, связанные с оцениванием необходимого набора регрессоров, в частности, легко получить предельное геометрическое распределение оценки степени тригонометрического полинома.

Однако на более общую ситуацию такого простого переноса сделать нельзя. Так, например, в случае временного ряда с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками снова можно воспользоваться общим подходом метода наименьших квадратов, однако система уравнений метода наименьших квадратов и, естественно, ее решение будут иными. Формулы в терминах матричной алгебры, о которых упоминалось в главе 5, будут отличаться. Поэтому рассматриваемый метод называется "обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК)" (см., например, [3, с.212]).

Замечание. Как уже отмечалось в главе 5, простейшая модель метода наименьших квадратов допускает весьма далекие обобщения, особенно в области системам одновременных эконометрических уравнений для временных рядов. Для понимания соответствующей теории и алгоритмов необходимо профессиональное владение матричной алгеброй. Поэтому мы отсылаем тех, кому это интересно, к литературе по системам эконометрических уравнений [4-9] и непосредственно по временным рядам [10-25], в которой особенно много интересуются спектральной теорией, т.е. выделением сигнала из шума и разложением его на гармоники. Подчеркнем в очередной раз, что за каждой главой настоящей книги стоит большая область научных и прикладных исследований, вполне достойная того, чтобы посвятить ей много усилий. Однако из-за ограниченности объема книги мы вынуждены изложение сделать конспективным.