40. Линейная модель множественной регрессии

В большинстве случаев нужно отождествить более одного фактора, влияющего на стоимость объекта оценки. Количественные измерения влияния множества факторов на зависимую переменную (у) можно осуществить на основе методики многофакторного регрессионного анализа. В данном случае, так же как и в парной регрессии, зависимость может характеризоваться как линейной, так и нелинейной связью.

Линейная модель множественной регрессии имеет общий вид:

y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂+...+ b_nx_n + ε,   где Y – зависимая переменная; 

b ₁ b₂ b_n - коэффициенты множественной регрессии;

x₁, x₂, х_n - факторы, влияющие на стоимость объекта оценки, включенные в анализ или объясняющие (независимые) переменные или регрессоры;

b₀ - постоянная величина, не зависящая от влияния отобранных факторов;

n - объем статической выборочной совокупности данных;

ε – ошибка вычислений.

Отбор факторов начинается с логического анализа: если вариация у в зависимости от вариации конкретного фактора х логически необъяснима, в модель фактор включать не следует.

Можно исследовать линейную зависимость между у и любой комбинацией независимых переменных, однако модель будет иметь силу только в случае, если существует значимая связь и если каждый коэффициент регрессии b значимо отличается от нуля.

Факторы - это технические, экономические, природно-климатические, организационные, технологические, социально-демографические и другие показатели, оказывающие количественное влияние на какой-либо результирующий экономический показатель: себестоимость, прибыль, выручка, стоимость объекта, денежный поток.

Задача математического моделирования состоит в выявлении количественной связи между факторами и результирующим показателем (признак-фактором).   

Факторы не должны быть тесно связаны между собой, т. е. не должно быть мультиколлинеарности.

Построение модели множественной регрессии является одним из методов характеристики аналитической формы связи между зависимой (результативной) переменной и несколькими независимыми (факторными) переменными.

Модель множественной регрессии строится в том случае, если коэффициент множественной корреляции показал наличие связи между исследуемыми переменными.

Общий вид линейной модели множественной регрессии:

yi=β0+β1x1i+…+βmxmi+εi,

где yi – значение i-ой результативной переменной,

x1i…xmi – значения факторных переменных;

β0…βm – неизвестные коэффициенты модели множественной регрессии;

εi – случайные ошибки модели множественной регрессии.

При построении нормальной линейной модели множественной регрессии учитываются пять условий:

1) факторные переменные x1i…xmi  – неслучайные или детерминированные величины, которые не зависят от распределения случайной ошибки модели регрессии βi;

2) математическое ожидание случайной ошибки модели регрессии равно нулю во всех наблюдениях:

3) дисперсия случайной ошибки модели регрессии постоянна для всех наблюдений:

4) между значениями случайных ошибок модели регрессии в любых двух наблюдениях отсутствует систематическая взаимосвязь, т.е. случайные ошибки модели регрессии не коррелированны между собой (ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю):

Это условие выполняется в том случае, если исходные данные не являются временными рядами;

5) на основании третьего и четвёртого условий часто добавляется пятое условие, заключающееся в том, что случайная ошибка модели регрессии – это случайная величина, подчиняющейся нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2: εi~N(0, G2).

Общий вид нормальной линейной модели парной регрессии в матричной форме:

Y=X* β+ε,

Где

– случайный вектор-столбец значений результативной переменной размерности (n*1);

– матрица значений факторной переменной размерности (n*(m+1)). Первый столбец является единичным, потому что в модели регрессии коэффициент β0 умножается на единицу;

– вектор-столбец неизвестных коэффициентов модели регрессии размерности ((m+1)*1);

– случайный вектор-столбец ошибок модели регрессии размерности (n*1).

Включение в линейную модель множественной регрессии случайного вектора-столбца ошибок модели обусловлено тем, что практически невозможно оценить связь между переменными со 100-процентной точностью.

Условия построения нормальной линейной модели множественной регрессии, записанные в матричной форме:

1) факторные переменные x1j…xmj – неслучайные или детерминированные величины, которые не зависят от распределения случайной ошибки модели регрессии εi. В терминах матричной записи Х называется детерминированной матрицей ранга (k+1), т.е. столбцы матрицы X линейно независимы между собой и ранг матрицы Х равен m+1<n;

2) математическое ожидание случайной ошибки модели регрессии равно нулю во всех наблюдениях:

3) предположения о том, что дисперсия случайной ошибки модели регрессии является постоянной для всех наблюдений и ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю, записываются с помощью ковариационной матрицы случайных ошибок нормальной линейной модели множественной регрессии:

где

G2 – дисперсия случайной ошибки модели регрессии ε;

In – единичная матрица размерности (n*n).

4) случайная ошибка модели регрессии ε является независимой и независящей от матрицы Х случайной величиной, подчиняющейся многомерному нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2: ε→N(0;G2In.

В нормальную линейную модель множественной регрессии должны входить факторные переменные, удовлетворяющие следующим условиям:

1) данные переменные должны быть количественно измеримыми;

2) каждая факторная переменная должна достаточно тесно коррелировать с результативной переменной;

3) факторные переменные не должны сильно коррелировать друг с другом или находиться в строгой функциональной зависимости.