Стратегії розгалуження для мро.

1. "Лавинообразная". В початковий момент генеруються всі можливі стани.

В слідуючий момент генеруються всі інші, відносно першого рівняння, можливі стани другого рівняння.

"Лавинообразна" стратегія програмно реалізується слідуючим чином:

* Кожен рівень (етап)- це файл прямого доступу, а рівень етапу – "запис" в який фіксується користувач та показник на попередній "запис" і вся необхідна інформація.

"Лавинообразна" стратегія відповідає технології динамічного прогорамування.

За допомогою даної стратегії можна розв’язати любу задачу.

П риклад. 7x₁+9x₂max x₁  0;0 x₁=0

-x₁+3x₂6 x₂  0;2

7x₁+x₂35

x₁,x₂0

0 1 2

Відповідь:X=(0,2).

2) Параметричне динамічне програмування.

Розгалуження з обмеженням в довжину і ширину. Можна дати параметри Д₁, Д₂, наприклад (2,4)і організовувати розгалуження таким чином: генеруємо 2 слідуючих рівня і вибираємо тільки визначену найкращу кількість; визначаємо Z^*;повертаємося на попередній рівень, генеруємо всі можливі рішення, находимо ймовірне краще і так ідемо до кінця. Отримаємо рішення яке нас задовольняє (або точне). Розміри Д₁, Д₂ вибираємо експерементальним шляхом (під час настройки програми).

Приклад.

H=2; H=3, Д=max(4,7,∞)

За допомогою цієї стратегії розв’язуються задачі ЦЛП з використанням СМ.

Динамічне програмування

ДП – (оптимізація)- це метод,за допомогою якого можливо розв’язувати любі задачі, але насамперед це пошук змінних які залежать від змінних, тобто

Т ипові задачі.

1.Задача про розклад у ВНЗі.

2.Задача про розклад поїздів та інший транспорт.

3.Задача про розподіл ресурсів між підприємствами.

4.Задача про капіталовложення (інвестиції).

5.Задача про набір висоти самольотів.

6.Задача про завантаження торгового судна з майбутнім розвантаженням (по кретерію Диферента).

Особливості ДП.

1.Багатоповерховість t=1,2,...,T.

2.Рішення будуються ціленапрямленим перебором в прямому та зворотному порядку, при цьому першим етапом є останній.

3.На кожному етапі t дійсний оптимум цільової функції як відносно етапу t, так і відносно слідуючих етапів t+1, t+2,...,T.

В результаті ЦФ може розглядатися як вектор

Z=(z_1,z_{2, ...}z_n).

Головний принцип оптимальності (принцип Белмана).

В якому б стані не знаходилась керуюча система, необхідно на цьому кроці вибрати таке управління, щоб виграш був max, як на даному кроці, так і в слідуючому.

Метод Розгалужень та обмежень – частковий випадок ДП.

Стратегія "лавинообразная" методу розгалужень і обмежень відповідає стратегії ДП.

Опис загального алгоритму.

1. Підготовка

a )Необхідно вибрати змінні, які визначаються як управляємі

б) вибір етапів

t=1,2,3,……

в) формула розрахунку виграшу

f=(x_i,s_t)

г) виграш згідно принципу оптимальності

(*)w_t={maxf_t (S_t,X_t)+ w_t+1 (φ_t+1(S_t+1,X_t+1)))}

Виграш на поточному кроці + виграш на слідуючому кроці.

2.Опорне рішення

Виконати умовну оптимізацію останнього кроку (оптимізація завжди починається з кінця). Визначається множина кінцевих станів

w_t={f_t (S_t,X_t)}

3. Умовна оптимізація

Провести умовну оптимізацію кроків Т-1 по формулі (*), потім Т-2, Т-3 до 1. В результаті ми отримаємо дерево

4. Безумовна оптимізація

Провести безумовну оптимізацію, тобто починаючи з першого етапу, просуваючись в останній етап, зафіксовувати оптимальне рішення задач. Для цього зберігати в памяті розгалуження від гілки до гілки, використовуючи файл прямого запису для оргінізації етапів.

Примітка.

До визначеного часу ДП було як метод представлення рішення задач. ДП не реалізовувалось на комп’ютері з малою потужністю. ДП використовувалось тільки математиками (опис проблеми і методу вирішення проблеми за допомогою множин). В наш час ДП може бути використане для рішення любої практичної задачі.

Приклад задачі ДП "Задача розподілення інвестицій".

Є m проектів та запас засобів k, які потрібно розподілити між проектами.

Відомо, прибуток від вкладання засобів в проект.

m=3,k=5млн$

φ_i(x_i)→max

x_i≤5, x_i>0, i=1,3

	n1	n2	n3
1	2.0	1.8	1.4
2	2.5	2.5	1.6	Етап 1,2,3.
3	3.0	2.9	1.7
4	3.0	3.5	1.8
5	3.0	3.5	1.8

X	1	2	3
S	4	3	2	m=1
W	2	2.5	3

Point	1			2		3
X	1	2	3	1	2	1	m=2
S	3	2	1	2	1	1
W	3.8	4.5	4.9	4.3	5	4.8

Point	1	2	3	4	5	6		x3=1;
X	3	2	1	2	1	1
S	0	0	0	0	0	0		x2=2; z=6.4
W	5.5	6.1	6,3	5,9	6,4	6,2		x1=2;