4.2 Опис алгоритму програми

ПОДВІЙНА ЗАДАЧА ЛІНІЙНОГО

ПРОГРАМУВАННЯ

Для будь-якої моделі існує поняття подвійної задачі - це перетворення задачі в одних змінних та запис – в інших.

Якщо задача має розмірність m*n ,її можна записати та розв’язати як n*m.

Математична модель для даного методу має вигляд

=

Основні визначення для подвійної задачі

Теорема 1

Значення цільової функції і подвійної задачі співпадають, знаки - ні.

Якщо в прямій задачі Z  max , то в оберненій задачі

(подвійній) Z  min.

Якщо в прямій задачі функція необмежена зверху, то в подвійній – вона необмежена знизу.

Теорема 2

Пряма та подвійна задачі взаємопов’язані між собою.

П одвійна задача (ПЗ): Пряма задача (ПРЗ):

Правила переведення до ПЗ :

Кожному обмеженню виду “=” ПРЗ відповідає змінна ПЗ .

Кожній змінній ПРЗ відповідає обмеження виду ( чи ) ПЗ .

Коефіцієнт цільової функції ПЗ дорівнює правій частині ПЗ .

Якщо в ПРЗ умова невід’ємності обов’язкова, то в ПЗ ця умова відсутня.

Цільва функція змінює знак з max на min чи навпаки.

Обмеження ПЗ мають знак “”,якщо в ПРЗ ЦФmax.

Існує взаємозв’язок між змінними ПРЗ та ПР.

(a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n-a₁₀)y₁=0 (a₁₁y₁+a₂₁y₂+…+a_m1y_n-c₁)x₁=0

. . . . . .

(a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n-a_m0)y_m=0 ; (a_1ny₁+a_2ny₂+…+a_mny_nc_n)x_n=0;

Отримавши рішення (результат) ,на підставі ПЗ,завжди можна ,за допомогою вище описаної системи,знайти .

Для розв’зання ПРЗ ( - ? ) необхідно :

Перейти від прямої моделі до подвійної : ;

Розв’язати ПЗ ( - ? ) ;

На підставі системи (7) знайти .

Приклад.

-24x₁+2x₃+6x₄max

- 3x₁+x₂+x₃+3x₄=4 y₁

2x₁+2x₂+x₃+x₄=6 y₂

x_1,…,x₄0

4 y₁+6y₂ min A : y₁+2y₂=0

-3y₁+2y₂-24 y₁+y₂ = 2

y₁+2y₂0

y₁+y₂2 Y = ( 4 ; -2 )

3 y₁+y₂6 Z = 4

На підставі теореми 2 : Вирішимо дану систему рівнянь методом

(-3y₁+2y₂+24)x₁=0 підбору. Y=(4 ; -2)

(y₁+2y₂)x₂=0

(y₁+y₂-2)x₃=0

(3y₁+y₂-6)x₄=0

Підставивши в систему знайдені значення Y , отримаємо :

X = ( 0 , 2 , 2 , 0)

Z = 4 .

Доцільність використовування ПЗ :

Використовується з метою зниження розмірності задачі .

Зменшення кількості змінних .

Використовується в інших задачах (Подвійний симплекс метод) .

ПОДВІЙНИЙ СИМПЛЕКС МЕТОД

Даний метод оснований на постійному поліпшенні неприпустимості рішень.

Якщо в ПРЗ симплекс методу основана на постійному поліпшенні значень ЦФ :

^k+1 _ ^k

^{0 0} , то в ПЗ X_{базисне} : X_n х B ; X_n  0.

Мета : X_nmax.

ВІДЗНАКА ПОДВІЙНОГО симплекс методу (ПСМ) від ПРЯМОГО (ПРСМ)

Вибір направляючого елементу (спочатку визначається рядок :

min( X_i0  X_i0  0 ) , а потім стовпець : ;

Канонічна форма ПСМ повинна мати рівність та одиничний базис .

Для приведення до канонічного виду необхідно розрахувати псевдоплан . Псевдоплан – це нова модель , що містить в собі одиничний базис (сопряжённый базис) та неприпустиме опорне рішення .

Примітка : існують типові моделі , для яких псевдоплан можна записати відразу (наприклад, Задача змінно-добового планування ) .

Якщо в ПРСМ повинна бути хоча б одна Ітерація , то в ПСМ рішення може бути отримане відразу після перерахунку псевдоплану .

Всі останні Подвійні симплекс-перетворення аналогічні ПРСМ .

Приклад .

4x₁+3x₂+10x₃+5x₄min 3 * 10 розмірність симплекс задачі.

3x₁+2x₂-x₃+5x₄8 3 * 7 розмірність подвійної СЗ .

x₂-3x₃+6x₄4

2x₁+x₃-x₄0

x₁, … , x₄0

необхідно привести до max та до рівностей (канонічний вигляд):

-4x₁-3x₂-10x₃-5x₄max

3 x₁+2x₂-x₃+5x₄-x₅=8 y₁

-x₂-3x₃+6x₄-x₆=4 y₂

2x₁+x₃-x₄-x₇=0 y₃

формуємо подвійну модель , щоб вибрати “сопряжённый” базис.

8 y₁+4y₂min A₀

3y₁+2y₃-4 A₁

2y₁-y₂-3 A₂

-y₁-3y₂+y₃-10 A₃

5y₁+6y₂-y₃-5 A₄

-y₁0 A₅

-y₂0 A₆

-y₃0 A₇

3) На підставі рядків ПЗ будуємо подвійні вектори А₀ , А₁ , А₂ , А₃ , А₄ , А₅ , А₆ , А₇ .

8 3 2 -1

А₀ = 4 А₁ = 0 А₂ = -1 А₃ = -3

0 2 0 1

5 -1 0 0

А₄ = 6 А₅ = 0 А₆ = -1 А₇ = 0

-1 0 0 -1

4) Вибір “сопряжённого” базису розміром m. Для цього необхідно:

свавільно вибрати m рівнянь (в даній задачі вибираємо рівняння (5,6,7) , тут =(0,0,0) ) ;

розв’язуємо цю систему з m рівнянь ;

підставляємо рішення в кожне з залишених (n-m) обмежень(в даній задачі це рівняння(2,3,4,5)) та перевіряємо , чи задовольняє “сопряжённый” базис.

Якщо так, то відбувається розрахунок симплекс таблиці, тобто псевдоплан.

Якщо ж ні, то даний варіант не задовольняє, тому слід перейти до наступного

“сопряжённого ”базису.

Отже маємо складену симплекс таблицю :

			-4	-3	-10	-5	0	0	0
	Bx	A0	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7
	X5	-8	-3	-2	1	-5	1	0	0
	X6	4	0	1	3	-6	0	1	0
	X7	0	-2	0	-1	1	0	0	1
		0	4	3	10	5	0	0	0
						

A₀ = A₅X₅₀ + A₆X₆₀ + A₇X₇₀

8 = -1x₅₀ + 0x₆₀ + 0x₇₀

4 = 0x₅₀ - 1x₆₀ + 0x₇₀

0 = 0x₅₀ + 0x₆₀ – 1x₇₀

X_b = ( -8 ; -4 ; 0 ).

Наступні розрахунки утворюються аналогічним чином.

Класифікація методів неперервного лінійного програмування

Симплекс метод використовується коли: ЦФmax, а обмеження  0.

Симплекс метод (М-задача) : обмеження  0, = 0 .

Подвійний симплекс метод без розрахунку псевдоплану,

цільова функціяmin , а всі обмеження  0 (задача змінно-добового планування).

Подвійний симплекс метод з розрахунком псевдоплану.

СПЕЦІАЛЬНІ ЗАДАЧІ ЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ

Задача призначення.

- задача про розподілення обладнання

Потрібно розподілити 5 екскаваторів між 4 кар’єрами з метою максимізації виробітки.

	K1	K2	K3	K4
1	5	-	7	-
2	7	8	8	-
3	4	4	12	10
4	8	7	10	11
5	10	-	-	14

5 5

5 -100 7 -100 0

j = 1,M 7 8 8 -100 0

4 4 12 10 0

I = 1,N 8 7 10 11 0

10 -100 -100 14 0

X_ij  0 ;

Для приведення задачі до закритого вигляду , необхідно ввести (додати) фіктивне обладнання.

Задача про розклад.

Для кожної пари вирішується задача призначення потоку групи в аудиторії.

Критерієм є вмісткість аудиторії, розвантаження сходів(мінімізація хвилин переходу) .

C_ij-хвилини переходу; і - номер групи; j-аудиторія.

j=1,M ; і=1,N ;

3)Розподілення користувачем в класі ЕОМ.

Задана кількість користувачів та кількість комп’ютерів. Кожен користувач вирішує свою задачу за окремою ЕОМ. Необхідно розподілити користувачів

по критерію мінімума.

4)Транспортна задача.

С клад Споживач

A B

- вміщення матеріалів на складі;

- заявка.

С_ij - витрати

і=1,M ; j=1,N ;

5. Задача планування будівельного майданчика.

ЗАДАЧА ПРИЗНАЧЕННЯ .

ВЕНГЕРСЬКИЙ МЕТОД

і=1,I ; j=1,I ;

АЛГОРИТМ ВЕНГЕРСЬКОГО МЕТОДУ

Приведення до канонічного вигляду. Задача повинна бути закритою.

Перед визначенням істотних нулів ( єдиний нуль в рядках та стовпцях),

1. Перерахунок по стовпцям (віднімання від максимального елемента )

2. Та по рядкам (віднімання мінімального елемента).

3. Формування по стовпцям істотних нулів (позначення стовпців).

4. Рішення знайдено (кількість позначок”+”повинна дорівнювати розмірності задачі (і)).Якщо рішення не знайдено :

Перевірка на зацикленість (кількість ітерацій “” чи “”).

5. Формування ланцюжка 0`0<sup>*</sup>…0` , де

0^* - істотний нуль ;

0` - виділений нуль в рядку з 0^*.

Побудова ланцюжка здійснюється від 0` в невиділеному стовпчику до 0<sup>*</sup> в рядку , потім прямуємо до 0` в стовпці,...,закінчуючи 0`.

При побудові ланцюжка необхідно відмічати рядки “+” та знімати позначення стовпців.

6. Якщо ланцюжок побудовано, то замінюємо : 0`0^*.Переходимо до п.4.

7. Генерація нових нулів. Визначення h0 серед невиділених елементів.

Визначення мінімального з них.

8. Віднімання h від невиділених рядків та додавання h до виділених стовпців.

Перехід до п.3.

значення Z повинне дорівнювати значенню .

З метою програмування необхідно оголосити наступні файли :

C : array 1..M of real ;

A : array 1..N,0..M of real ;

D : array  0..M of real ;

K : longint ;

B : array 1..N of byte ;

ЗАДАЧА

Необхідно розподілити партію комп’ютерів (6) між підрозділами ВУЗу (8).

Відомо , що кожен комп’ютер має свою конфігурацію . Призначення кожного комп’ютера в підрозділ вимагає визначених затрат. Необхідно розподілити партію комп’ютерів.

max

1 і=1,6

1 j=1,8

  0 , 1 ;