29. Основные теоремы о пределах.

Числовую последовательность {a_n} можно считать функцией дискретного аргумента n и применить к ней определение 13.9:Число А называется пределом числовой последовательности {a_n}, если при n > N.

Число А называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к х₀, если такое, что |f(x) - A| < ε при |x - x₀| < δ.

Обозначение: .

Теорема 14.1. Если существуют и , то существует и

Доказательство. Используя третье определение предела, представим f(x)=A+α(x), g(x)=B+β(x), где α(х) и β(х) – бесконечно малые при х→х₀. Тогда f(x)+g(x)=A+B+(α(x)+β(x))=A+B+γ(x), где γ(х)=α(х)+β(х) – бесконечно малая. Следовательно,

Теорема 14.2. Если существуют и , то существует и

Доказательство. Представим f(x)=A+α(x), g(x)=B+β(x), где α(х) и β(х) – бесконечно малые при х→х₀. Тогда f(x)·g(x)=AB+Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x). Но Aβ(x)+Bα(x)+α(x)β(x) – бесконечно малая (так как f(x) и g(x) ограничены в окрестности х₀), следовательно,

Теорема 14.3. Если существуют и , то существует и

Доказательство. Представим f(x)=A+α(x), g(x)=B+β(x), где α(х) и β(х) – бесконечно малые при х→х₀. Тогда

где ограниченная в окрестности х₀ функция, так как имеет предел, равный 1/В², а Вα(х)-Аβ(х) – бесконечно малая. Поэтому - бесконечно малая, и

30.Определение множества и ограниченного множества. Супремум. Инфимум.

В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество — множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай произвольного метрического пространства, а также на случай произвольного частично упорядоченного множества. Понятие ограниченности множества не имеет смысла в общих топологических пространствах, без метрики.

Ограниченное числовое множество.

Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху, если существует число b, такое что все элементы X не превосходят b:

Множество вещественных чисел называется ограниченным снизу, если существует число b, такое что все элементы X не меньше b:

Множество , ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.

Множество , не являющееся ограниченным, называется неограниченным. Как следует из определения, множество не ограничено тогда и только тогда, когда оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.

Примером ограниченного множества является отрезок ,

неограниченного — множество всех целых чисел ,

ограниченного сверху, но неограниченного снизу — луч x < 0,

ограниченного снизу, но неограниченного сверху — луч x > 0.

Ограниченное множество в метрическом пространстве

Пусть (X,ρ) — метрическое пространство. Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре B_r(a):

Множество, не являющееся ограниченным, называется неограниченным.

В отличие от числовой прямой, в произвольном метрическом пространстве нельзя ввести понятия ограниченного сверху и ограниченного снизу множеств.

Помимо понятия ограниченного множества для произвольного метрического пространства существует более специальное понятие вполне ограниченного множества. В случае числовых множеств это понятие совпадает с понятием ограниченного множества.