Лабораторна робота № 4

Тема: Синтез лінійних стаціонарних систем засобами SISO Design Tool

Мета роботи: Отримати навички синтезу лінійних стаціонарних систем засобами SISO Design Tool в Matlab.

Теоретичні відомості. Засоби SISO систем — SISO Design Tool. Далі для скорочення запису використовується термін «Design Tool». Це засіб виявляється досить корисним при виборі структури і параметрів систем регулювання методом проб і помилок, його застосування значно скорочує час проектування. Фактично засіб Design Tool засноване на тому, що будь-які зміни, які вносяться в систему, негайно відображаються на всіх діаграмах і графіках, що описують систему, а саме зміна виконується найчастіше простим переміщенням миші по одній з діаграм. При відсутності такого засобу при кожній зміні параметрів потрібно було б заново проводити обчислення, а при зміні структури - писати нову програму.

Методику використання Design Tool найкраще продемонструвати на конкретному прикладі. Передавальна функція двигуна постійного струму, вважаючи, що вхідний величиною є напруга на його якорі, а виходом - кутове положення його валу (надалі «положення») має вигляд:

(4.1)

де - електромеханічна стала часу, - електромагнітна стала часу, - коефіцієнт, що залежить від параметрів двигуна. Далі приймемо =1, вважаючи, що ця величина буде врахована при реалізації синтезованого регулятора.

Положення вимірюється датчиком, передатна функція якого має вигляд аперіодичної ланки першого порядку:

(4.2)

Припускаємо також =1. Мета регулювання - мати нульову помилку при відпрацюванні ступеневої зміни завдання положення, при цьому перерегулювання не повинно перевищувати 10% при часу регулювання, визначеного за входження в 2%-ую, не більше 1 с.

Спочатку створимо системи двигуна sys і датчика sen при =0.1 c =0.1 c =0.01 c =1 с командами:

>> Tm=0.1;Ta=0.1;Tj=0.01;

>> den=[Tm*Ta Tm 1 0];

>> sys=tf(1,[den]);

>> sen=tf(1,[Tj 1]);

При виконанні цієї програми в робочій області будуть створені системи sys і sen. В командному вікні виконаємо команду sisotool. При цьому на екрані з'явиться вікно Design Tool, головне меню якого серед інших містить пункт «File» і в ньому підпункт «Import». При виборі цього підпункту з'являється вікно рис. 4.1. Розглянемо його докладніше. Праворуч вгорі намальована структурна схема системи регулювання, пропонована для проектування.

Рис. 4.1. - Design Tool окно «Import»

Вона відповідає схемі послідовної корекції. Натисканням лівої клавішею на кнопку «Other» («Інші») можна вибрати три інші можливі структурні схеми, зображені на рис. 4.2. Схема «б» відповідає схемі паралельної корекції, схема «с» - випереджаючому впливу за завданням з метою прискорити процес, схема «д» - з внутрішнім контуром регулювання. Знак зворотних зв'язків можна змінювати кнопкою + / -. Виберемо схему «а».

а б

с д

Рис. 4.2. – Варіанти структур систем в Design Tool

Лівий нижній прямокутник (рис.4.1) містить інформацію, які системи і звідки (з робочої області, з диска у вигляді mat-файлу, з Simulink) можуть бути імпортовані. У нашому випадку - з робочої області, де знаходяться системи sys і sen. Виділяємо лівою кнопкою sen і клацаємо по стрілці праворуч, вказує на Н. Те ж саме робимо з sys і з кнопкою, що вказує на G. Таким чином, наша система регулювання завантажена, і відразу після натискання клавіші «ОК» у вікні Design Tool з'являться кореневої годограф і діаграма Боде (рис. 4.3 2.24). Для зручності розгляду в годографа виділена область близько нуля, що представляє найбільший інтерес, при цьому полюс р4 = 100 не видно. Видно, що замкнута система стійка без коригувальних ланок з більшим запасом по фазі: 83.6°. Щоб подивитися на графік перехідного процесу при поштовху завдання, відкриємо в головному меню Design Tool пункт «Analysis» і виберемо опцію «Response to Step Command». Відкриємо підменю «Other Loop Response» і побачимо, які можливості надає Design Tool для аналізу системи: можна спостерігати спільно або окремо перехідні процеси в усіх точках замкнутої і розімкнутої систем.

Рис. 4.3. – Вікно Design Tool до настройки компенсатора (регулятора)

Ми обмежимося першим варіантом і виберемо реакцію «to у» для замкнутої системи.

Рис. 4.4. – Вікно Design Tool «Response to Step Command» до настройки компенсатора (регулятора)

Негайно з'являється вікно з цією реакцією. Для зручності аналізу доцільно обидва вікна: вікно Design Tool і вікно перехідного процесу розмістити поруч на одному екрані. Видно, що процес дуже затягнутий і час регулювання 3.6 с, що природно, оскільки запас по фазі великий. Спробуємо спочатку збільшити коефіцієнт підсилення, тобто представимо регулятор просто як підсилювальну ланку К. Сумісний покажчик миші до графіка амплітуди Боде (при цьому покажчик перетворюється в зображення долоні), натиснемо ліву клавішу і, не відпускаючи її, рухаємо графік вгору. Видно, як одночасно з рухом графіка змінюється вид перехідного процесу. Наприклад, при збільшенні К до 4.13 процес має перерегулювання 18% при часі регулювання 1.4 с. Поточне значення С можна прочитати в полі «Current Compensator» (поточний вид регулятора), C(s) = 4.13. Ці параметри вимогам не задовольняють, отже треба вводити коригувальні ланки.

Клацнемо на Design Tool правою клавішею. При цьому відкриється наступне меню:

Add Pole/Zero	Додати полюси/нулі
Delete Pole/Zero	Видалити полюси / нулі
Edit Compensator	Редагувати регулятор
Design Constraints	Проектувальні обмеження
Grid	Сітка
Zoom	Масштабування
Properties	Властивості

Ці пункти мають свої підменю. «Add Pole / Zero» має підпункти:

Real Pole	Речовий полюс
Complex Pole	Комплексний полюс
Integrator	Інтегратор
Real Zero	Речовий нуль
Complex Zero	Комплексний нуль
Differentiator	Диференціатор
Lead	Ланка з випередженням по фазі
Lag	Ланка з відставанням по фазі
Notch	Вузькосмуговий режекторний фільтр

При виклику підпунктів «Інтегратор» або «диференціатор» в початок додається полюс або нуль. При виклику інших пунктів з'являється стрілка поруч із зображенням: хрест для полюса і гурток для нуля. Треба помістити стрілку в бажану точку на графіку кореневого годографа і клацнути лівою клавішею. Зміни негайно відображаються на всіх графіках і на кривій перехідного процесу. При виклику пункту «Видалити полюси/нулі» з'являється зображення гумки, який треба помістити на стирається полюс або нуль і клацнути клавішею. Пункт «Редагувати регулятор» розглянемо при синтезі регулятора для розглянутого прикладу.

Отже, при К = 4.13 введемо ланка з випередженням по фазі, вибравши пункти «Add Pole / Zero» і «Lead». Читачеві пропонується спробувати інші опції, по-перше, з метою кращого освоєння Design Tool, а по-друге, можливо вдасться знайти інше рішення, так як синтез методом проб і помилок неоднозначний. Нагадаємо, що ланка з випередженням по фазі має передавальну функцію:

(4.3)

Так як об'єкт має власну частоту, рівну 10, спочатку встановимо ланку поблизу точки р = 10.

Передавальна функція компенсатора відразу ж з'являється в полі «Current Compensator». Тепер намагаємося налаштувати компенсатор, збільшуючи величину випередження, тобто зрушуючи його полюс вліво. При цьому спостерігаємо за зміною кривої перехідного процесу. Коли перерегулювання зменшується до кількох %, прагнемо збільшити коефіцієнт підсилення, і так кілька разів. В результаті приходимо до діаграм і до процесу, зображених на рис. 4.5 з регулятором з передавальної функцією:

(4.4)

Перерегулювання становить 10%, але час регулювання не забезпечується.

Рис. 4.5. – Вікно Design Tool і «Response to Step Command» с першим варіантом компенсатора (регулятора)

Таким чином, регулятор потрібно скорегувати. Спробуємо включити дві однакові ланки типу як в (4.4) послідовно. Для цього викличемо функцію коригування компенсатора, що можна зробити двома шляхами: права клавіша миші і пункт «Edit Compensator» або в головному меню пункт «Compensators» та підпункти «Edit», «С». При цьому відкривається вікно редагування, зображене на рис. 4.6 (після коригування). Вікно вказує коефіцієнт посилення регулятора, а також нулі і полюси його передавальної функції. Необхідно клацанням по текстам «Add Real Pole» (додати речовинний полюс) і «Add Real Zero» (додати речовинний нуль) відкрити відповідні поля і ввести туди з клавіатури такі ж величини, як уже наявні, потім клацнути по «Арр1е» («застосувати »). Відразу після цього радикальним чином змінюються характеристики системи, перерегулювання зменшується майже до нуля, але процес залишається затягнутим. Збільшимо коефіцієнт посилення К до 11, отримаємо діаграми і перехідний процес, зображені на рис. 4.7. Видно, що вимоги до проектування задоволені.

Рис. 4.6 Вікно корекції регулятора

Рис. 4.7. – Вікно Design Tool і «Response to Step Command» с другим варіантом компенсатора (регулятора)

Видається, що синтезований регулятор забезпечує нульову статичну помилку, однак це має місце тільки при відсутності статичного навантаження на валу двигуна. Насправді, процес відпрацювання заданого положення відбувається при наявності статичної навантаження, що викликає помилку в відпрацюванні завдання. Для ліквідації цієї помилки додамо в регулятор інтегрально - пропорційну ланку. Збережемо вимогу до перерегулюванню не більше 10%, але дозволимо збільшення часу регулювання до 1.5 с. Так як частота зрізу (рис. 4.7) становить близько 18 рад/с, розташуємо нуль z3 досить далеко від цієї частоти в точці 6 рад/с. При цьому отримаємо процес з перерегулюванням близько 25% і часом регулювання 2.3 с. Потім починаємо переміщати нуль z3 до початку координат. При цьому спочатку як перерегулювання, так і час регулювання зменшуються, а потім при z3 = 3 рад/с друга величина починає зростати. Помічаючи, що в певному діапазоні з збільшенням частоти зрізу запас по фазі зростає, збільшуємо коефіцієнт посилення (при цьому треба прагнути поєднати частоту зрізу з частотою, при якій запас по фазі максимальний). При цьому спочатку зменшується як перерегулювання, так і час регулювання, але при К=17 перерегулювання починає зростати. Фіксуємо це значення і намагаємося зменшити перерегулювання за рахунок переміщення нуля до початку координат. На рис. 4.8 показані кореневої годограф, діаграма Боде і перехідний процес при z3=2.5, тобто для передавальної функції регулятора:

(4.5)

Видно, що вимоги до якості перехідного процесу виконуються.

Рис. 4.8. – Вікно Design Tool і «Response to Step Command» с інтегральним регулятором

З викладеного видно, що Design Tool є досить зручним засобом для розробки регуляторів. Звичайно, робота з ним вимагає певних навичок, для придбання яких можна рекомендувати з його допомогою самостійно розглянути ряд прикладів, що приводяться в книгах з теорії регулювання.

Розглянемо деякі додаткові можливості Design Tool. Розроблену систему з регулятором можна запам'ятати як у робочій області, так і на диску у вигляді mat-файлу. Для цього в головному меню Design Tool вибираються пункти «File» і потім «Export». При цьому у вікні відкривається список всіх наявних моделей, а також список різноманітних передавальних функцій, пов'язаних з вихідними моделями, що застосовуються в теорії і практиці авторегулювання: передавальні функції замкнутої і розімкнутої систем, помилки, чутливості, є також представлення моделі в фазовому просторі. Вибір експортованих моделей і вказівка місця запам'ятовування здійснюються за допомогою лівої кнопки миші.

За допомогою пункту головного меню «File» і потім «Toolbox Preference» можна вибрати одиниці виміру величин, розмір шрифтів, а також вид подання передавальної функції компенсатора (регулятора).

За допомогою пункту головного меню «View» і потім підпункту «System Data» можна подивитися на полюса, нулі та передавальні функції об'єкта і вимірника, а за допомогою підпункту «Closed-Loop Pole» побачити полюса замкнутої системи.

Для запам'ятовування поточної версії регулятора і для подальшого його виклику використовується підпункт «Store/Retrieve» («Запам'ятати/Відновити») з пункту головного меню «Compensators». Можливо запам'ятовування декількох версій, яким присвоюються порядкові номери.

Пошук необхідного регулятора полегшується введенням обмежень. При цьому на діаграмах зображуються лінії, що відповідають цим обмеженням, що полегшує вибір параметрів і структури регулятора. Перелік обмежень залежить від типу діаграми. Наприклад, для кореневого годографа такими обмеженнями є час регулювання, перерегулювання, коефіцієнт демпфування та ін.., для діаграми Боде - верхня і нижня межі амплітуди. Для кореневого годографа використовуються формули, тобто показники ґрунтуються на характеристиках найближчого до уявної осі кореня, тому вони є наближеними, і показники процесу повинні уточнюватися після закінчення синтезу. Для діаграми Боде до вибору обмежень можна підійти, наприклад, так: нехай бажаний час наростання або час узгодження задано. По формулах ( , , де - час, протягом якого вихідна координата системи в перший раз досягає сталого значення, - час, протягом якого вихідна координата змінюється від 0,1 до 0,9 при одиничному ступінчатому впливі) знаходимо бажану частоту зрізу. Тоді від нульової частоти до частоти зрізу амплітуда повинна бути більше нуля, тобто амплітудна характеристика в цій області частот обмежена знизу. Приймемо максимальну частоту зрізу 20 рад/с. Далі, для отримання малого перерегулювання протяжність амплітудної характеристики з незмінним нахилом в районі частоти зрізу повинна бути досить великою, а потім нахил повинен різко зростати для придушення високочастотних збурень, тому приймемо, що при > 25 рад/с нахил повинен бути не менше -40 дБ/дек., тобто при > 25 рад/с характеристика обмежена зверху лінією з нахилом  -40 дБ/дек. Звичайно, можуть бути й інші підходи до формування обмежень.

Введемо ці обмеження в діаграму. Для цього у вікні Design Tool, у вікні діаграми Боде правою клавішею викликаємо пункт меню «Design Constraints», «New» і в отриманому вікні вибираємо «Lower Gain Limit» («нижня межа амплітуди»), «frequency» («частота») від 0.01 до 20 рад / с, «Magnitude» («Амплітуда») = 0, «Slope» («нахил») = 0. Далі знову вибираємо опцію «New» і в отриманому вікні вибираємо «Upper Gain Limit» («верхня межа амплітуди»), «frequency» від 25 рад / с до 250 рад / с, «Magnitude» = 0, «Slope» = - 40 дБ / дек (рис. 4.9). В результаті на амплітудну діаграму Боде будуть нанесені обмежувальні лінії (рис. 4.10). Більш темна частина ліній звернена до дозволеної області, а більш світла до забороненої (на чорно-білому рис. 4.10 світліша частина відзначена зубцями).

Рис. 4.9. – Вікно Design Tool для вводу обмежень на діаграмі Боде

Рис. 4.10. – АЧХ із веденими обмеженнями

Завдання на виконання роботи.

Для об'єктів, зображених на рис.1.3, 1.4 і 1.5 лабораторної роботи 1 відповідно варіанту зробити:

1. На базі побудованої структурної схеми системи, отриманої в п.2. лабораторної 1 створити системи sys і sen, для чого представити об’єкт однією передавальною функцією за допомогою функцій series, feedback.

2. Синтезувати регулятор за допомогою засобів SISO Design Tool за прикладом, наведеним у теоретичних відомостях. Оберіть структуру регулятора такою, щоб поліпшити показники якості раніше синтезованої системи за варіантом у лабораторної роботі 1.

3. Звіт за результами синтезу методом «проб і помилок» оформити досить докладним з проміжними етапами побудови структури регулятора.

Контрольні запитання.

1. Що таке діаграма Боде, які існують команди в середовищі Matlab для її побудови?

2. Дайте визначення частоти зрізу, за які показники системи відповідають низькочастотні, середньочастотні та високочастотні ділянки в діаграмі?

2. Дайте визначення запасу по амплітуді, по фазі, часу наростання і часу узгодження. Як відобразити їх на графіках?

3. Що таке кореневий годограф, характеристичне рівняння замкненої САУ? . Які існують команди в середовищі Matlab для йго побудови?

4. Де починаються траєкторії руху кореневого годографу, а де закінчуються? Що таке нулі і полюса передаточної функції?

5. Дайте визначення регулятору із випередженням та відставанням за фазою.