Лабораторная работа №1 Расчет и оптимизация траектории полета неуправляемого ла
Цель работы: определить основные параметры траектории неуправляемого ЛА, построить траекторию и профиль скорости; исследовать влияние различных параметров неуправляемого ЛА, а также начальных условий пуска, на дальность его полета.
Основы теории
Система уравнений движения
При выводе системы уравнений движения ракеты на активном участке траектории можно использовать земную (неподвижную) или траекторную (подвижную) систему координат.
В качестве примера, воспользуемся неподвижной земной системой координат (рисунок 2).
Рисунок 2 – Расчетная схема движения ракеты
При составлении математической модели принимаем следующие допущения:
- влияние вращательного движения ЛА на движение его центра масс отсутствуют;
- траектория полета ЛА считается плоской;
- кривизна земли и ветер не учитываются;
- сила тяги считается постоянной;
- изменение плотности воздуха с высотой учитывается приближенными зависимостями.
Траекторию полета неуправляемого ЛА в данном случае можно разделить на два участка: активный (с работающем двигателем) и пассивный (с отработавшим двигателем).
На ракету на активном
участке траектории действуют сила
тяги Р, направленная по касательной
к траектории и совпадающая с вектором
скорости, аэродинамическая сила
,
направленная по касательной к траектории
в направлении, противоположном вектору
скорости, и сила тяжести G=mg
(рисунок 1).
Проецируя указанные
силы на оси
и
,
получим уравнения ускорений
,
(1)
.
(2)
К данным уравнениям необходимо добавить кинематические соотношения
,
(3)
.
(4)
Кроме того, необходимо записать соотношения для расчета:
- текущей массы
,
(5)
- аэродинамической силы
,
(6)
- текущей плотности воздуха
,
(7)
- изменения плотности воздуха с высотой
,
(8)
- скорости
,
(9)
- угла наклона траектории
.
(10)
где
- полная масса ракеты с топливом;
секундный массовый расход топлива (
);
- масса топлива;
-
время работы двигателя;
- плотность воздуха на уровне Земли;
- площадь миделевого сечения;
- коэффициент силы лобового сопротивления,
являющийся функцией числа Маха.
Уравнения движения
ракеты на пассивном участке
получаются из системы (1)-(10), если положить
,
.
Численная реализация модели
Приведенные уравнения (1)-(10) включают четыре дифференциальных уравнения первого порядка и 6 алгебраических. Решение дифференциальных уравнений возможно только численными методами.
Рассматриваемая система дифференциальных уравнения имеет решение при некоторых заданных начальных условиях:
Одним из наиболее распространенных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений является метод конечных разностей (МКР). Рассмотрим применение МКР для численного решения на ЭВМ простейшего дифференциального уравнения первого порядка:
с начальными условиями X0 , Y(X0) = Y0.
Решение
будем
искать в интервале [X0, b]
и будем полагать, что функция на данном
интервале удовлетворяет условиям
гладкости.
Разобьем область аргумента Х на множество отрезков длиной ΔX и разложим функцию Y в ряд Тейлора в окрестности произвольной точки Xi из области существования функции:
.
Отбрасывая члены ряда, содержащие производные второго и высшего порядков, получаем конечно-разностное выражение первой производной
.
Отсюда
Вычисляя последовательно от начального значения Y0 значения Y1, Y2, Y3, ... по данной формуле, находим искомое решение.
На рисунке 3 показана форма численного решения, получаемого с помощью таких вычислений
Рисунок 3 – Схема приближенного решения методом Эйлера
Данный
метод решения обыкновенного
дифференциального уравнения носит
название метода Эйлера. При достаточно
малых величинах шага
.
Метод Эйлера дает решение с большой
точностью, так как погрешность близка
к 0(
)
на каждом шаге процесса.
Для решения системы уравнений движения ЛА методом Эйлера запишем ее в конечно-разностном виде:
,
где i – номер текущего шага по времени.
Выразим
в этих уравнениях в явном виде
.
Решая систему уравнений (3) на каждом шаге по времени, можно последовательно вычислить все точки траектории полета ЛА.