Рациональная схема статистического моделирования

Требуемое число опытов для решения поставленной задачи с заданной точностью можно уменьшить, если воспользоваться одним из методов снижения трудоемкости статического моделирования. В качестве такого метода рассмотрим метод расслоенной выборки [2].

В соответствии с данным методом область G возможных значений случайного вектора разбивается на K непересекающихся областей G_k:

Метод предполагает проведение статического моделирования для каждой из областей Gk с использованием для вектора случайных параметров плотностей распределения вероятностей

где pk – вероятность попадания случайного вектора V в область Gk

.

Для области G_k выполним N_k опытов, получим оценку математического ожидания искомого показателя для данной области:

Результирующая оценка должна рассматриваться как случайная дискретная величина, значения которой наблюдаются с вероятностями p_k . Тогда результирующая оценка определяется усреднением:

Определим дисперсию оценки (11), имея в виду, что все N₁+ N₂+ N₃+…+ N_k слагаемые – независимые случайные величины:

Дисперсия случайной величины может быть оценена следующим образом:

Введя в рассмотрение доли от общего количества опытов, соответствующие областям G_k,

,

на основе (12) получим соотношение для определения количества опытов, необходимого для получения результата с погрешностью не выше :

При удачном разбиении области G и удачном выборе соотношения количества опытов для отдельных областей G_k дисперсия оценки (12) может быть существенно снижена. Оптимальные значения должны быть пропорциональны произведениям

Область G была разбита на 10 областей G_k,

Провели начальную серию опытов N=200. Алгоритм повторялся до тех пор, пока не выполнилось условие . Данное условие выполнилось после четвертой итерации алгоритма.

После проведения данной серии опытов были получены следующие результаты:

Оценка математического ожидания для каждой из 10 областей на основании (10):

m_x1=1.594;

m_x2= 1.612;

m_x3= 1.643;

m_x4= 1.661;

m_x5= 1.694;

m_x6= 1.723;

m_x7= 1.741;

m_x8= 1.772;

m_x9= 1.801;

m_x10= 1.833;

Результирующая оценка математического ожидания по (11):

m_х= 1.71;

Дисперсия для каждой из 10 областей по (13):

D₁= 0,0156;

D₂= 0,0159;

D₃= 0,0172;

D₄= 0,0177;

D₅= 0,0175;

D₆= 0,0173;

D₇= 0,0174;

D₈= 0,0165;

D₉= 0,0168;

D₁₀= 0,0169;

Дисперсия оценки математического ожидания по (12):

Требуемое количество опытов, рассчитанное по (14):

опытов.

Дифференциальное уравнение (1) решается численным интегрированием методом Эйлера первого порядка [3] с шагом 0.001. Программа, реализующая данный метод снижения трудоемкости, написана на языке Delphi (Приложение Б).

Таким образом, использование метода расслоенной выборки позволило обеспечить снижение требуемого количества опытов по сравнению со стандартной схемой в 3.12 раз.

Заключение

По заданию курсовой работы требовалось определить математическое ожидание выходного сигнала X апериодического звена в момент времени T тремя методами. В результате решения данной задачи тремя способами были получены следующие результаты:

• Аналитически .

• Используя стандартную схему статистического моделирования

• Используя метод расслоенной выборки

Использование метода расслоенной выборки обеспечило снижение требуемого количества опытов по сравнению со стандартной схемой в 3.12 раз.