
БАЛТИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ "ВОЕНМЕХ"
им. Д. Ф. УСТИНОВА
Кафедра
И3
КУРСОВАЯ работа
по учебной дисциплине: Стохастические системы управления_______________________________
на тему: Сокращение трудоемкости статистического моделирования__________________________
студента_______________Кордубайло Дениса Андреевича_______________________________
группы ____И351___________
ПРЕПОДАВАТЕЛЬ
Королев
С.Н. / ______________ /
Подпись
“___"
_________________
2009 г.
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
2009 г.
Содержание
Содержание 2
Введение 3
3
Аналитическое решение 3
Стандартная схема статистического моделирования 5
Рациональная схема статистического моделирования 7
Приложение А 12
Приложение Б 13
Введение
Требуется определить математическое ожидание выходного сигнала X неустойчивого апериодического звена в заданный момент времени Т. Модель звена:
где
,
Данная модель звена содержит случайные параметры с равномерным законом распределения в заданных интервалах.
Допустимая абсолютная погрешность
результата:
.
Задачу решить тремя способами:
Используя стандартную схему статического моделирования;
Используя рациональную схему статистического моделирования с применением метода расслоенной выборки;
Аналитически.
Результаты аналитического решения использовать для проверки результатов статистического моделирования и для обоснования построения рациональной схемы моделирования.
Исходные данные для варианта 8:
G = 1 ,
a = 0.6-1.1 ,
T = 1,
A = 0,
k = 1 ÷ 1,5.
Метод снижения трудоемкости: метод расслоенной выборки.
Аналитическое решение
Проинтегрировали дифференциальное уравнение (1) методом Лагранжа[1]:
Так же проинтегрировали соответствующее (1) однородного дифференциального уравнения:
Подставили
и
в уравнение (1):
Нашли С1 из начального условия X(0) = A:
В результате получили:
Решение исходного дифференциального уравнения (1) имеет вид:
Где
A =0,
k – случайный параметр, распределенный по равномерному закону в интервале [1;1,5].
Для Т = 1 с учетом статистической независимости A и k определили искомую характеристику:
где
– искомое математическое ожидание.
С учетом (2) определили математическое ожидание в момент времени Т = 1:
Определили дисперсию :
Таким образом
С учетом известной дисперсии оценили
необходимое количество опытов с
погрешностью
:
где
–
необходимое количество опытов.
Значение параметра
зависит от доверительной вероятности
.
Примем
=0,997
и
=3. Подставив значения параметров в (4), получили:
опытов.
Стандартная схема статистического моделирования
Если трудоемкость эксперимента имеет существенное значение, применяются итерационные алгоритмы получения оценок [2]. Идея итерационных алгоритмов состоит в том, что определение точности и требуемого количества опытов проводится в ходе эксперимента на основе получаемых оценок искомых параметров.
Блок-схема типового итерационного алгоритма приведена на рисунке 1.
Рисунок 1 - Блок-схема итерационного алгоритма
Для задачи оценки математического ожидания случайной величины x предусматривается:
1. Проведение начальной серии опытов объемом n и накопление сумм
,
где
- реализация случайной величины x в
отдельных опытах.
2. Вычисление оценок математического
ожидания
и дисперсии
:
3. Получение оценки требуемого количества опытов:
4. Проведение дополнительной серии
опытов объемом
и накопление сумм:
,
.
5. Уточнение оценок математического ожидания m*x и дисперсии D*x:
При решении поставленной задачи численное интегрирование методом Эйлера первого порядка проводилось на ЭВМ в среде Matlab6.5 [2]. Программа, проводящая данные вычисления, представлена в приложении А.
В ходе реализации описанного алгоритма было проведено несколько серий опытов, результаты которых сведены в таблицу 1.
Таблица 1 – Результаты вычисления по стандартной схеме
Номер итерации |
|
|
|
Количество проведенных опытов
|
1 |
1.515 |
0.334 |
30145 |
200 |
2 |
1.548 |
0.295 |
26588 |
1000 |
3 |
1.596 |
0.254 |
22897 |
3000 |
4 |
1.601 |
0.244 |
21973 |
5000 |
5 |
1.699 |
0.235 |
21219 |
9000 |
6 |
1.704 |
0.231 |
20859 |
12000 |
7 |
1.707 |
0.228 |
20573 |
15000 |
8 |
1.711 |
0.224 |
19800 |
19800 |
Таким образом, окончательным результатом
реализации алгоритма являются следующие
значения:
,
,
.
Выигрыш составил : 30145/19800= 1.52 раза.
Проблема метода статистического моделирования связана с тем, что результаты проводимых серий опытов складываются случайным образом и при конечных n возможны следующие негативные эффекты:
Выборочный закон распределения может существенно отличаться от нормального. Чаще всего оценки требуемого количества опытов оказываются завышенными.
Разброс составляющих выборку реализаций случайной величины может оказаться существенно меньше истинного ее разброса. Оценки требуемого количества опытов оказываются резко заниженными, а результаты моделирования - неточными. Во избежание подобных ситуаций рекомендуется выбирать объем начальной серии опытов не менее 100-500.
В выборке могут оказаться реализации случайной величины, значительно отличающиеся от ее среднего значения, в непропорционально большом количестве (возможны завышенные оценки требуемого количества опытов для получения точных результатов моделирования).