3. Обнаружение и исключение систематических погрешностей
В зависимости от характера и причин появления погрешности измерений и средств измерений делят на систематические (детерминированные) и случайные (стохастические). Различают ещё грубые погрешности и промахи.
Систематическая погрешность – составляющая погрешности измерения, которая при повторении равноточных измерений неизменного размера остается постоянной или закономерно изменяется. Систематические погрешности могут быть изучены, при этом результат измерения может быть уточнен или путем внесения поправок, если числовые значения этих погрешностей определены, или путем применения таких способов измерения, которые дают возможность исключить влияние систематических погрешностей без их определения. Числовые значения систематических погрешностей определяются путем поверки средств измерений.
В настоящее время, особенно после введения одного из основополагающих метрологических стандартов ГОСТ 8.009-84 “ГСИ. Основные метрологические характеристики средств измерений”, понятие “систематическая погрешность” несколько изменилось по отношению к определению, данному ГОСТ 16263-70 “ГСИ. Метрология Термины и определения”. Систематическая погрешность считается специфической, “вырожденной” случайной величиной, обладающей некоторыми, но не всеми свойствами случайной величины, изучаемой в теории вероятностей и математической статистике. Свойства систематической погрешности, которые необходимо учитывать объединении составляющих погрешности, отражаются такими характеристиками, что и свойства “настоящих” случайных величин - дисперсией (СКО) и коэффициентом взаимной корреляции.
При проведении измерений стараются в максимальной степени исключить или учесть влияние систематических погрешностей. Постоянная систематическая погрешность не устраняется при многократных измерениях. Для устранения постоянных систематических погрешностей применяют графические и специальные статистические методы. К последним относятся способ последовательных разностей, дисперсионный анализ и др. Способ последовательных разностей (критерий Аббе) применяется для обнаружения изменяющейся во времени систематической погрешности и состоит в следующем. Дисперсию результата измерений можно оценить двумя способами: обычным
(3.1)
и вычислением суммы квадратов последовательных (в порядке проведения измерений) разностей (xi+1-xi)2
.
(3.2)
Если
в процессе измерений происходило
смещение центра группирования результатов
наблюдений, т.е. имела место переменная
систематическая погрешность, то S2[х]
дает преувеличенную оценку дисперсии
результатов наблюдений. Это объясняется
тем, что на S2[х]
влияют вариации
.
В то же время изменения центра группирования
весьма мало сказываются на значениях
последовательных разностей
поэтому
смещения
почти не отражается на значении Q2[х].
Отношение
(3.3)
является критерием для обнаружения систематических смещений центра группирования результатов наблюдений. Критическая область для этого критерия (критерия Аббе) определяется как Р(ν<νq)=q, где q=1-P – уровень значимости, Р - доверительная вероятность. Значения νq для разных уровней значимости q и числа наблюдений n приведены в таблице 3.1.
Таблица 3.1
Значения критерия Аббе
n |
νq при q, равном |
n |
νq при q, равном |
||||
0,001 |
0,01 |
0,05 |
0,001 |
0,01 |
0,05 |
||
4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
0,295 0,208 0,182 0,185 0,202 0,221 0,241 0,260 0,278 |
0,313 0,269 0,281 0,307 0,331 0,354 0,376 0,396 0,414 |
0,390 0,410 0,445 0,468 0,491 0,512 0,531 0,548 0,564 |
13 14 15 16 17 18 19 20 |
0,295 0,311 0,327 0,341 0,355 0,368 0,381 0,393 |
0,431 0,447 0,461 0,474 0,487 0,499 0,510 0,520 |
0,578 0,591 0,603 0,614 0,624 0,633 0,642 0,650 |
Если полученное значение критерия Аббе меньше νq‚ при заданных q и n, то гипотеза о постоянстве центра группирования результатов наблюдений отвергается, т.е. обнаруживается переменная систематическая погрешность результатов измерений.
Пример
Таблица 3.2
Результаты наблюдений
n |
xi |
|
|
|
|
1 |
13,4 |
-0,1 |
0,01 |
-0,6 |
036 |
2 |
13,3 |
+1,2 |
1,44 |
-0,7 |
0,49 |
3 |
14,5 |
-0,7 |
0,49 |
+0,5 |
0,25 |
4 |
13,8 |
+0,7 |
0,49 |
-0,2 |
0,04 |
5 |
14,5 |
+0,1 |
0,01 |
+0,5 |
0,25 |
6 |
14,6 |
-0,5 |
0,26 |
+0,6 |
0,86 |
7 |
14,1 |
+0,2 |
0,04 |
+0,1 |
0,01 |
8 |
14,3 |
+0,3 |
0,09 |
+0,3 |
0,09 |
9 |
14,0 |
+0,3 |
0,09 |
0,0 |
0,0 |
10 |
14,3 |
-1,1 |
1,21 |
+0,3 |
0,09 |
11 |
13,2 |
- |
- |
-0,8 |
0,64 |
Σ 154,0 |
-0,2 |
4,12 |
0,0 |
2,58 |
|
Используя способ последовательных разностей, определить, присутствует ли систематическая погрешность в ряду результатов наблюдений, приведенных во втором столбце табл.3.2.
Для приведенного ряда результатов вычисляем: среднее арифметическое =154,0/11=14; оценку дисперсии S2[х]=2,58/10=0,258; значение Q2[х]=4,12/(2 10)=0,206; критерий Аббе ν=0,206/0,258=0,8. Как видно из табл.3.1, для всех уровней значимости (q=0,001; 0,01 и 0,05) при n=11 имеем ν>νq, т.е. подтверждается нулевая гипотеза о постоянстве центра группирования. Следовательно, условия измерений для приведенного ряда оставались неизменными, и систематических расхождений между результатами наблюдений нет.
Задача
Используя способ последовательных разностей, определить, присутствует ли систематическая погрешность в ряду результатов наблюдений, приведенных в табл. 3.3.
Таблица 3.3
Результаты измерений
№ вари-анта |
U, В |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
12,38 |
11,97 |
12,34 |
11,46 |
11,75 |
12,05 |
||||||||||||||||||||||
11,88 |
11,81 |
14,05 |
12,33 |
12,45 |
|
|||||||||||||||||||||||
12,07 |
11,78 |
11,23 |
11,91 |
11,74 |
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
12,91 |
12,88 |
12,99 |
13,09 |
13,33 |
13,43 |
||||||||||||||||||||||
13,72 |
13,06 |
12,76 |
13,23 |
10,57 |
|
|||||||||||||||||||||||
11,98 |
12,78 |
12,95 |
13,07 |
13,25 |
|
|||||||||||||||||||||||
3٭ |
14,38 |
14,44 |
14,32 |
14,21 |
13,78 |
14,22 |
13,59 |
14,21 |
13,77 |
|||||||||||||||||||
13,88 |
14,01 |
13,67 |
14, 09 |
13,06 |
13,69 |
13,89 |
13,75 |
|
||||||||||||||||||||
4٭ |
14,88 |
14,43 |
15,79 |
14,66 |
15,34 |
14,99 |
||||||||||||||||||||||
15,21 |
16,98 |
15,57 |
14,69 |
15,32 |
15,27 |
|||||||||||||||||||||||
15,36 |
14,45 |
14,79 |
15,37 |
15,01 |
|
|||||||||||||||||||||||
5 |
16,31 |
16,02 |
15,58 |
15,88 |
15,92 |
16,01 |
15,88 |
15,82 |
15,94 |
|||||||||||||||||||
16,69 |
16,09 |
15,97 |
15,94 |
16,01 |
16,04 |
15,69 |
15,87 |
|
||||||||||||||||||||
6٭ |
17,09 |
17,35 |
17,34 |
16,99 |
16,85 |
17,21 |
17,11 |
16,44 |
||||||||||||||||||||
17,22 |
16,81 |
17,72 |
17,15 |
17,25 |
17,89 |
17,13 |
17,09 |
|||||||||||||||||||||
7 |
18,11 |
18,21 |
18,32 |
18,41 |
17,88 |
17,67 |
17,79 |
|||||||||||||||||||||
17,91 |
17,67 |
18,25 |
18,32 |
15,44 |
17,98 |
18,44 |
||||||||||||||||||||||
18,24 |
18,12 |
18,28 |
18,22 |
17,93 |
17,86 |
|
||||||||||||||||||||||
8 |
19,09 |
19,03 |
18,77 |
18,98 |
18,75 |
19,36 |
||||||||||||||||||||||
18,66 |
16,88 |
18,71 |
19,61 |
19,49 |
19,22 |
|||||||||||||||||||||||
18,83 |
18,79 |
19,29 |
19,74 |
19,33 |
|
|||||||||||||||||||||||
9٭ |
19,98 |
19,89 |
20,03 |
20,14 |
20,28 |
19,84 |
20,08 |
20,23 |
||||||||||||||||||||
19,99 |
19,83 |
20,33 |
20,11 |
19,76 |
22,16 |
20,41 |
20,77 |
|||||||||||||||||||||
|
Продолжение табл.3.3 |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
10 |
21,09 |
20,87 |
21,33 |
21,34 |
21,21 |
20,09 |
||||||||||||||||||||||
21,04 |
21,24 |
21,24 |
21,22 |
21,19 |
21,41 |
|||||||||||||||||||||||
21,13 |
20,67 |
20,94 |
21,12 |
21,19 |
|
|||||||||||||||||||||||
11 |
22,12 |
22,28 |
22,44 |
24,06 |
21,75 |
21,32 |
||||||||||||||||||||||
21,88 |
21,81 |
22,33 |
22,45 |
22,02 |
21,97 |
|||||||||||||||||||||||
21,91 |
22,07 |
22.34 |
21,74 |
21,46 |
21,32 |
|||||||||||||||||||||||
12 |
22,75 |
22,87 |
22,29 |
23,43 |
23,33 |
|||||||||||||||||||||||
23,72 |
23,06 |
23,23 |
20,57 |
22,96 |
||||||||||||||||||||||||
22,98 |
21,99 |
27,07 |
23,25 |
23,09 |
||||||||||||||||||||||||
13 |
24,38 |
23,96 |
23,59 |
23,75 |
24,07 |
|||||||||||||||||||||||
24,29 |
24,35 |
23,97 |
26,05 |
23,77 |
||||||||||||||||||||||||
23,78 |
23,69 |
24,21 |
23,93 |
24,44 |
||||||||||||||||||||||||
14٭ |
25,79 |
24,93 |
25,03 |
24.88 |
25,29 |
25,11 |
24,99 |
24,79 |
||||||||||||||||||||
25,02 |
25,06 |
24,95 |
25,13 |
26,98 |
24,68 |
25,08 |
25,03 |
|||||||||||||||||||||
15 |
28,88 |
25,82 |
25,87 |
25,97 |
26,55 |
26,11 |
26,31 |
26,09 |
25,88 |
|||||||||||||||||||
25,69 |
25,92 |
25,94 |
24,09 |
26,02 |
26,88 |
26,69 |
25,58 |
|
||||||||||||||||||||
16 |
27,09 |
26,77 |
27,22 |
26,93 |
24,69 |
26,44 |
26,96 |
26,85 |
||||||||||||||||||||
26,91 |
26,89 |
26,76 |
27,72 |
27,22 |
27,08 |
26,81 |
27,09 |
|||||||||||||||||||||
|
28,24 |
27,88 |
28,85 |
25,43 |
27,67 |
27,86 |
28,44 |
28,22 |
||||||||||||||||||||
28,32 |
28,12 |
27,93 |
28,41 |
28,32 |
28,21 |
28,11 |
27,91 |
|||||||||||||||||||||
18 |
29,74 |
28,83 |
28,66 |
29,03 |
29,29 |
28,71 |
29,61 |
29,33 |
29,36 |
|||||||||||||||||||
28,98 |
29,09 |
28,79 |
26,88 |
28,77 |
28,75 |
29,49 |
29,22 |
28,77 |
||||||||||||||||||||
19٭ |
29,88 |
29,99 |
30,11 |
30,34 |
30,28 |
30,33 |
30,06 |
32,16 |
||||||||||||||||||||
30,12 |
30,01 |
29,95 |
29,78 |
30,05 |
30,12 |
30,13 |
30,03 |
|||||||||||||||||||||
20٭ |
31.113 |
31,27 |
31,20 |
31,19 |
30,52 |
31,17 |
31,23 |
31,07 |
31,18 |
|||||||||||||||||||
31,25 |
31,01 |
30,24 |
30,66 |
30,48 |
31,33 |
30,09 |
28,76 |
31,12 |
||||||||||||||||||||
17