8.4 Порядок виконання роботи

8.4.1 Дослідженню підлягає система другого порядку, лінійна частина якої має передавальну функцію:

. (8.4)

Значення коефіцієнта підсилення k, сталої часу Т і коефіцієнта демпфірування  наведено в таблиці 8.1.

Таблица 8.1

Завдання до лабораторної роботи

Параметр	Вариант
	1	2	3	4	5
k	2	3	5	4	1
Т	0,5	1	2	0,8	1,5
1	0	0	0	0	0
2	0,1	0,3	0,5	0,2	0,6
3	-0,5	-0,3	-0,4	-0,6	-0,4
4	1,5	2	2,5	3	4

8.4.2 Відповідно до свого варіанту виконати моделювання лінійної розімкнутої системи (на вхід подати одиничний ступінчастий сигнал 1(t)).

Для кожного з чотирьох заданих значень коефіцієнта  побудувати фазовий портрет системи (використовуючи XY Graph) і відповідну перехідну характеристику (рис. 8.2). Зробити висновки.

Рис. 8.2 – Приклад схеми моделі лінійної системи другого порядку

(з блоком параметрів XY Graph) для побудови фазового портрету й перехідної характеристики

Блок XY Graph здійснює вивід двохкоординатного графіка. У блоці параметрів можна задавати:

• х min, x max, у min, у max - мінімальні й максимальні значення за координатами х и у;

• Sample Time - період дискретизації (для отримання гладких кривих необхідно ввести значення 0,1 або 0,01).

Слід пам’ятати, що координата у є похідною від координати х. Тому на вхід Y подається вихідний сигнал системи через блок диференціювання du/dt.

8.4.3 Замкнути систему. До зворотного зв’язку ввести нелінійний елемент (рис. 7.2, в) з параметрами статичної характеристики, що задані в таблиці 7.1 (відповідно до свого варіанту). Побудувати фазовий портрет нелінійної системи і відповідну перехідну характеристику. Зробити висновки.

8.4.4 Повторити пункт 8.4.3 для нелінійних елементів (рис. 7.2, г, е).

8.4.5 Вийти з програми. Кінець роботи.

8.5 Обробка результатів. Оформлення звіту

8.5.1 Назва і мета роботи.

8.5.2 Схема моделі, фазовий портрет і перехідна характеристика для кожного досліджуваного випадку.

8.5.3 Висновки.

8.6 Контрольні питання

1. У чому полягає сутність дослідження нелінійних систем методом фазової площини?

2. Що таке фазова траєкторія? Фазовий портрет?

3. Назвіть основні особливості фазового портрету.

4. Що таке особлива точка?

5. Який вигляд має фазовий портрет системи з незатухаючими коливаннями? Із затухаючими коливаннями? Із коливаннями, що розходяться?

6. Чим відрізняються фазові портрети лінійних і релейних систем?

7. Чим обмежується застосування методу фазової площини?

Лабораторна робота № 9

Дослідження режиму автоколивань

9.1 Мета роботи

Придбання навичок дослідження режиму автоколивань нелінійних систем графоаналітичними методами та засобами пакета "Matlab".

9.2 Зміст роботи

9.2.1 Вивчення теоретичних відомостей з теми лабораторної роботи;

9.2.2 Дослідження режиму автоколивань засобами пакета "Matlab";

9.2.3 Розрахунок параметрів автоколивань графоаналітичним методом Гольдфарба.

9.3 Теоретичні відомості

Автоколивання – специфічний режим роботи нелінійних систем, що відповідає стійким незатухаючим коливанням з певною амплітудою й частотою.

Автоколивання можуть виникати тільки у нелінійних системах. Принципова різниця цих коливань від незатухаючих коливань у лінійних системах полягає в тому, що відхилення параметрів автоколивань (амплітуди, частоти і т.д.) малим зміщенням у процесі подальшого руху зменшується.

У попередній лабораторній роботі було наведено, що незатухаючим коливанням відповідає замкнута фазова траєкторія (замкнутий цикл). Цей цикл, який називають граничним, є ізольованим: він обмежений траєкторіями, що навиваються на нього (рис. 9.1, а) або скручуються з нього (рис. 9.1, б).

Рис. 9.1 - Граничний цикл з траєкторіями, що навиваються (а) на нього і скручуються з нього (б)

Якщо у результаті малого зміщення з граничного циклу в будь-якому напрямку ми попадаємо на траєкторію, що необмежено наближається до циклу, то цикл стійкий (рис. 9.1, а).

Стійкий граничний цикл на фазовій площині розмежовує два процеси:

- коливальний процес, що розходиться (крива 1, рис. 9.2), який виникає при малих початкових відхиленнях;

- затухаючий коливальний процес (крива 2, рис. 9.2), що виникає при значних відхиленнях.

Із рисунка випливає, що рівноважний стан системи нестійкий. Але процес розходиться до певної амплітуди , тобто практично коливальний процес буде стійким, бо при одних початкових значеннях він розходиться, а при інших – затухає.

У системі, фазовий портрет якої наведено на рис. 9.1, а), автоколивання виникають ніби “самі по собі” від як завгодно малого збурення. Збудження коливань такого роду називають м’яким.

Рис. 9.2 - Автоколивання у нелінійних системах:

1 – коливальний процес, що розходиться; 2 – затухаючий коливальний процес; 3 – періодичний коливальний процес з постійною амплітудою а₀ і постійною частотою ₀

Уявимо фазовий портрет із двома циклами: внутрішнім нестійким і зовнішнім стійким (рис. 9.3).

Початок координат – стійкий фокус. Усередині внутрішнього циклу рух з часом зупиняється, автоколивання не виникають. Щоб їх збудити, необхідний досить сильний поштовх, який виведе початкову точку за граничний нестійкий цикл. Це система із жорстким збудженням автоколивань.

Нестійкий граничний цикл обмежує у фазовій площині зону допустимих початкових збуджень, за яких стан рівноваги ще залишається стійким.

Слід зазначити, що автоколивання не є змушеними коливаннями. Вони є власними вільними коливаннями системи і мають цілком визначену амплітуду і частоту, які не залежать від початкових умов процесу, а залежать тільки від параметрів самої системи, тобто об’єкта і регулятора.

Система, в якій виникають автоколивання, може вважатись практично стійкою і придатною для потреб регулювання, якщо амплітуда коливань a₀ незначна і частота їх безпечна, тобто накладення цих коливань на постійне значення вихідної величини практично допустиме за технічними вимогами.

Автоколивання можуть виникати не лише у САК. До автоколивальних систем можна віднести ламповий генератор, годинник, поршневий двигун, духовий інструмент. Автоколивальний характер носять і такі процеси у живих організмах, як дихання та робота серця.

Отже, можна дати таке визначення автоколивальній системі: система, здатна створювати незатухаючі коливання, якщо вона характеризується наявністю: джерела живлення; клапана, що регулює надходження енергії у коливальну систему; зворотного зв’язку з коливальної системи на клапан.

Одним із методів дослідження автоколивань є метод гармонічного балансу. Він дозволяє визначити умови появи та параметри автоколивань як у системах другого порядку, так і в більш складних системах, може використовуватися у випадку, коли характеристика нелінійного елемента є неоднозначною. При цьому метод має достатню для практичних потреб точність і, що найбільш важливо, найкоротшим шляхом приводить до безпосереднього вираження потрібних залежностей амплітуди і частоти автоколивань від параметрів системи. Це полегшує задачу як загального аналізу властивостей даної САК, так і вибір її структури та параметрів під час проектування чи налагодження системи.

Метод ґрунтується на гіпотезі фільтра, відповідно до якої вважається, що автоколивання наближено можна знайти у синусоїдальній формі:

, (9.1)

тобто, лінійна частина системи є достатньо інерційною і не пропускає високочастотні гармоніки коливань (являє собою фільтр низьких частот).

При цьому слід пам’ятати, що на виході нелінійного елемента буде з’являтись періодичний сигнал, форма якого залежить від характеру нелінійності й в загальному випадку суттєво відрізняється від синусоїдальної (так, наприклад, на виході ідеального реле утворюється періодичний сигнал прямокутної форми).

Розглянемо простий контур регулювання (рис. 9.4). Система не зазнає зовнішніх впливів, тобто .

Перші гармоніки величин x та y на вході й на виході нелінійного елемента дорівнюють:

З азначимо, що , тоді отримаємо такий вираз для y:

. (9.2)

В операційній формі запису:

. (9.3)

Коефіцієнти g і b називають гармонічними коефіцієнтами передачі нелінійного елемента або коефіцієнтами гармонічної лінеаризації. Ці коефіцієнти є функціями амплітуди: ; . Вони залежать від виду нелінійності. Для однозначних характеристик , для петльових характеристик гістерезисного типу завжди є від’ємною величиною.

У таблиці 9.1 наведені коефіцієнти g і b для основних нелінійностей.

Таблиця 9.1