Банаховы и гильбертовы пространства

Полное линейное нормированное пространство называется банаховым.

Приведем некоторые примеры банаховых пространств.

Примеры 28.9.

Пространство IR банахово. Действительно, на вещественной числовой оси имеет место критерий Коши: для того чтобы последовательность (х_n)IR была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Справедливость критерия Коши в IR означает, что вся вещественная ось IR заполнена точками – вещественными числами, на ней нет «дыр», т.е. что она полна.

Если бы мы ограничились только рациональными числами, это было бы не так. Например, последовательность десятичных приближений к с недостатком: х₁=1, х₂=1,4, х₃=1,41,… - фундаментальная, однако во множестве рациональных чисел она не является сходящейся (предел у нее есть и равен , но это число иррациональное).

Примеры 28.10.

Пространство IR^m (m1) также банахово, т.к. в IR^m тоже справедлив критерий Коши.

Примеры 28.11.

Пространство С([a;b]) является банаховым пространством. Пусть (х_n(t))  С([a;b]). Справедлив следующий критерий Коши равномерной сходимости последовательности функций: для того чтобы (х_n(t)) сходилась в С([a;b]), т.е. равномерно на [a;b], необходимо и достаточно, чтобы для любого 0 существовал номер N=N() такой, что при всех номерах nN и любых натуральных р имело место неравенство , или иначе, для всех t [a,b].

Полнота С([a;b]) отчетливо проступает также в следующей теореме: если последовательность непрерывных на [a;b] функций (х_n(t)) сходится равномерно на [a;b] к некоторой функции х(t), то х(t) непрерывна на [a;b].

Пусть Х – бесконечномерное банахово пространство. Последовательность (е_k)₁^ Х называется базисом в Х, если любой элемент хХ может быть представлен в виде сходящегося ряда .

Пространство Н со скалярным произведением называется гильбертовым, если оно полно в норме, порожденной скалярным произведением.

Простейший пример гильбертова пространства дает евклидово пространство IR^m .

Углом между ненулевыми элементами х, у вещественного гильбертова пространства называется угол , заключенный между 0 и  такой, что

Элементы х,уН называют ортогональными и записывают ху, если (х,у)=0. Множество zН таких, что (z,х)=0 для любого хМН, обозначается М^.

Система элементов h₁,h₂,… Н называется ортогональной, если (h_i,h_j)=0 при ij, h_i0 и ортонормированной, если (h_i,h_j)=_ij= .

Система элементов х₁, х₂, …Н называется линейно независимой, если при любом натуральном n система х₁, х₂, … х_n линейно независима.

Пусть L – линейное многообразие в Н. Совокупность всех элементов из Н, ортогональных к L, называется ортогональным дополнением к L и обозначается L^.

Теорема. L^ - подпространство в Н.

Доказательство. Докажем линейность L^ . Пусть, z₂L^, т.е. (z₁,y)=0, (z₂,y)=0 для любых уL. Тогда для любых скаляров ₁ и ₂ (₁,z₁+₂z₂,у)= ₁(z₁,у)+ ₂(z₂,у)=0 для любых уL, т.е. ₁,z₁+₂z₂ L^.

Докажем замкнутость L^. Пусть дана (z_n)  L^ и z_nz, при n. Для любых уL имеем (z_n,y)=0. Перейдем в этом равенстве к пределу при n по свойству непрерывности скалярного произведения, получим (z, y) = 0 для любого уL, т.е. zL^. Теорема доказана.

Расстояние от точки х до подпространства L определяется формулой .

Существует единственный элемент уL, реализующий расстояние от точки х до подпространства L:

.

Если , то х-у  L. Для любого хН справедливо разложение х=у+z, zL, причем это разложение единственное.

Пусть дана конечная или бесконечная последовательность линейно независимых векторов g₁, g₂,…,g_n,…

Покажем, как построить ортонормированную последовательность векторов е₁, е₂, …, е_n, … эквивалентную последовательности. В качестве первого вектора примем вектор , норма которого, очевидно, равна единице. Векторы е₁ и g₁ порождают одно и то же подпространство Е₁, одного измерения. Вектор g₂ мы построим в два приема. Сначала из вектора g₂ вычтем его проекцию на Е₁, получим вектор h₂=g₂–(g₂,е₁)е₁, который ортогонален подпространству Е₁, т.е. вектору е₁, и который не равен нулю, т.к. в противном случае вектор g₂ принадлежал бы Е₁, что противоречит линейной независимости векторов (1). Найдя h₂, положим . Векторы е₁, е₂ порождают то же подпространство двух измерений Е₂, что и векторы g₁, g₂.

Переходим к построению вектора е₃. Сначала из вектора g₃ вычтем его проекцию на Е₂; получаем вектор h₃=g₃ – ( g₃,е₁) е₁– ( g₃,е₂) е₂, отличный от нуля и ортогональный подпространству Е₂, т.е. ортогональный векторам е₁, е₂. Затем полагаем . Подобным образом поступаем и далее. Если уже построены векторы е₁, е₂,…,е_n, то полагаем , и затем .

Описанный прием носит название ортогонализации.

При решении многих вопросов относительно многообразия, порождаемого некоторой последовательностью векторов, предварительная ортогонализация этой последовательности может оказаться очень полезной.

7