Бесконечномерные евклидовы пространства

Хорошо известным способом введения нормы в линейном пространстве является задание в нем скалярного произведения.

Скалярным произведением в действительном линейном пространстве Е называется действительная функция (х,у), определенная для каждой пары элементов х,у  Е и удовлетворяющая следующим условиям:

1. (х,у)=(у,х);

2. (х₁+х₂,у)=( х₁,у)+ (х₂,у);

3. (х,у)=(у,х);

4. (х,х)0, причем (х,х)=0 только при х=0.

Линейное пространство с фиксированным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством. В евклидовом пространстве Е вводится норма с помощью формулы . Из свойств 1)-4) следует, что все аксиомы нормы при этом выполнены.

Действительно, нетривиальной является лишь проверка неравенства треугольника, которое следует из неравенства Коши - Буняковского , которое, в свою очередь, можно получить следующим образом. Рассмотрим квадратный трехчлен от действительной переменной , неотрицательный при всех значениях :

Так как это выражение представляет собой скалярный квадрат некоторого вектора, то всегда 0. Следовательно, дискриминант этого трехчлена меньше или равен нулю. Неравенство Коши - Буняковского как раз и выражает не что иное, как неположительность дискриминанта этого квадратного трехчлена .

Отметим, что в евклидовом пространстве сумма, произведение на число и скалярное произведение непрерывны в смысле сходимости по норме.

Если (х,у)=0, то векторы х и у называются ортогональными.

Примеры 28.4.

n-мерное арифметическое пространство Rⁿ, элементами которого служат системы действительных чисел х=(х₁,…, х_n), с обычными операциями сложения и умножения и скалярным произведением представляет собой хорошо известный пример евклидова пространства. Ортогональный нормированный базис в нем образуют векторы е₁==(1,0,0,…,0), е₂=(1,0,0,…,0),…, е_n=(1,0,0,…,0).

Примеры 28.5.

Пространство l₂ c элементами х=(х₁, х₂,…, х_{n, …}), где , и скалярным произведением есть евклидово пространство, что следует из неравенства . Свойства 1)-4) скалярного произведения проверяются непосредственно. Простейший ортогональный нормированный базис в l₂ образуют векторы

е₁ = (1, 0, 0, …), е₂ = (0, 1, 0, …), …, е_n = (0, 0, …, 1, …), …

Ортогональность и нормированность этой системы очевидна.

Примеры 28.6.

Пространство С²([a,b]), состоящее из непрерывных на [a,b] действительных функций со скалярным произведением также является евклидовым пространством. Среди различных ортогональных базисов, которые можно указать в нем важнейшим является тригонометрическая система, состоящая из функций (n=1,2,…).

Ортогональность этой системы проверяется непосредственно. Если рассматриваются непрерывные функции на отрезке длины 2, скажем на [-;], то соответствующая тригонометрическая система имеет вид (n=1,2,…).

Полнота пространства

Последовательность (х_n) точек метрического пространства называется фундаментальной, если для любого 0 можно указать такой номер N, что для всех n и m, больших N, выполняется неравенство (x_n, x_m) .

Последовательность (х_n) точек метрического пространства называется сходящейся, если существует такая точка Х этого пространства, что (x_n, x)=0. В этом случае пишут или х_n х и говорят, что х – предел последовательности точек (х_n) или (х_n) сходится к х.

Метрическое пространство, в котором всякая фундаментальная последовательность сходится, называется полным. Полное нормированное линейное пространство называется банаховым пространством.

Примеры 28.7.

Доказать, что всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной.

Доказательство. Пусть (х_n) – сходящаяся последовательность точек произвольного метрического пространства, и пусть 0. Найдется такое N, что для всех nN выполняется неравенство (x_n, а) /2. А тогда по аксиоме треугольника для любых для любых nN и mN (x_n, x_m) (x_n, а)+ (x_m, а)  /2+/2=, ч.т.д.

Примеры 28.8.

Докажите, что если подмножество А метрического пространства М, рассматриваемое как самостоятельное метрическое пространство (с метрикой, заимствованной из М), является полным пространством, то А – замкнутое множество.

Доказательство. Рассмотрим произвольную сходящуюся в метрическом пространстве М последовательность (х_n) точек из множества А. чтобы убедиться, что А – замкнутое пространство, достаточно показать, что ее предел х  А.

Так как (х_n) сходится в пространстве М, то последовательность (х_n) является в метрике этого пространства фундаментальной. Но в М и А метрика одинаковая, поэтому (х_n) фундаментальная и в А. Так как А – полное пространство, то х_n у А. Итак, х_n х М и х_n у А по одной и той же метрике. В силу единственности предела в метрическом пространстве М отсюда следует, что х=у и, следовательно, х действительно принадлежит А.