Нормированные пространства

Определение 28.4. Линейное пространство Е называется нормированным пространством, если каждому xЕ поставлено в соответствие неотрицательное число (норма х) так, что выполняется следующие три аксиомы:

1) в том и только в том случае, когда х=0;

2) ,

3) .

Таким образом, норма – это определенная всюду на Е функция с неотрицательными значениями и со свойствами 1)-3). Заметим, что аксиома:

1) - называется условием невырожденности нормы,

2) - условием однородности нормы,

3) - неравенством треугольника.

В случае векторов аксиома 3) означает, что длина сторон треугольника не превышает сумы длин двух других его сторон. Как следствие отсюда имеем: длина любой стороны треугольника больше или равна разности длин двух других его сторон. Соответствующее неравенство для нормы имеет вид . (26.1.)

Докажем это неравенство. По неравенству треугольника имеем , откуда ; меняя ролями х и у, получаем . Оба последние неравенства в совокупности дают неравенство (26.1.).

В нормированном пространстве можно ввести расстояние между любыми двумя его элементами по формуле (x,y)= .

Примеры 28.2.

Прямая IR становится нормированным пространством, если для всякого числа xIR положить .

Если в действительном n-мерном пространстве IRⁿ c элементами x=(x₁,x₂,..,x_n) положить , то все аксиомы нормы будут выполнены.

Формула (x,y)= = определяет в IRⁿ ту самую метрику, которую мы рассматривали в примере 1.

В этом же линейном пространстве можно ввести норму

или норму .

Примеры 28.3.

Пространства Лебега L^P (p1). Пусть G – измеримое множество в 3-мерном евклидовом пространстве. Будем рассматривать всевозможные вещественные или комплексные функции на G, суммируемые по Лебегу со степенью р, и введем обычные действия сложения функций и умножения функций на число. Тогда получим вещественное (соответственно комплексное) линейное пространство. Действительно, если x(t) и y(t) суммируемые со степенью р, то их сумма также суммируема на G со степенью р, ибо она измерима и a+b^P  2^P (a^P +b^P) , что вытекает из неравенства a+b^P  (2a)^P = 2^P a^P  2^P (a^P +b^P) при bа. Положим теперь .

1) . Нуль пространства L^P есть функция, равная нулю почти всюду на G. В теории интеграла принято, что функции, отличающиеся друг от друга лишь на множестве меры нуль, считается эквивалентными, поэтому . Ясно также, что

2) . Третье свойство нормы есть здесь не что иное, как неравенство Минковского: .

Таким образом, рассматриваемое линейное пространство оказывается нормированным с нормой. Оно называется пространством Лебега и обозначается L^P или L_P.

2. Пространство L^P. Будем рассматривать всевозможные последовательности (x₁,x₂,x₃,…)=х вещественных или комплексных чисел, для которого . Такие последовательности в силу образуют линейное пространство относительно сложения х+у=( x₁+у₁,x₂+у₂,x₃+у₃,…) и умножения х=(x₁, x₂, x₃,…) на скаляры соответственно из поля IR или С. Положим

Выполнение первой и второй аксиомы нормы непосредственно следует из определения, а третьей – из неравенства Минковского для сумм.

Основным аппаратом при доказательстве теорем гармонического анализа является интегрирование непрерывных абстрактных функций со значениями в нормированном пространстве Е. Приведем соответствующие определения и необходимые элементы теории.

Пусть f(t) означает элемент полного нормированного пространства Е, зависящий от вещественного параметра t, или, что тоже, функцию параметра t, со значениями в пространстве Е. Такие функции называют абстрактными функциями. Будем говорить, что f(t) непрерывно зависит от параметра t в точке t = , если при t   всегда норма разности f(t) – f() стремится к нулю. Абстрактная функция f(t), непрерывно зависящая от t при любом t из отрезка [a, b], называется непрерывной абстрактной функцией от t на [a, b].

Следующие предложения, представляющие собой естественные обобщения известных элементарных теорем анализа, легко доказываются с помощью обычных рассуждений, использующих компактность отрезка:

a) Абстрактная функция, непрерывная на отрезке, ограничена по норме на этом отрезке.

b) Абстрактная функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на этом отрезке.

c) Последовательность абстрактных функций f_n(t) называется сходящейся к абстрактной функции f(t) равномерно на [a, b], если для любого 0 можно указать такой номер N = N(), что при nN максимум нормы разности этих функций меньше .

Утверждается, что предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций f_n(t) есть также непрерывная функция.

Интеграл от абстрактной функции обладает обычными свойствами интеграла (линейность, аддитивность, оценка нормы и т.п.).