Лекция 28. Метрические пространства

Логический анализ понятия предела последовательности действительных чисел, предела функции в точке, непрерывности и ряда других важнейших, связанных с этими понятий показывает, что все эти понятия опираются на использование расстояния между точками прямой. Перечень свойств расстояний довольно краток и состоит из таких утверждений:

1. x,y IR: x-y0, причем x-y=0  x=y;

2. x,y IR: x-y=y-x;

3. x, y, z IR: x-yx-z+z-y.

Здесь x-y – расстояние между точками с координатами x и y на прямой. Свойствами 1-3 обладает также обыкновенное расстояние в трехмерном пространстве. Абстрактное определение расстояния, обладающего свойствами 1-3 на множестве элементов произвольной природы позволяет строить ряд понятий математического анализа на этом множестве.

Пусть X – некоторое множество, будем считать, что X. Элементы множества Х называют также точкам, а само множество Х – пространством.

Определение 28.1. Расстоянием (метрикой)  на пространстве Х называется функция : Х  Х  IR, удовлетворяющая условиям:

1. x,yХ: (x,y)0, причем (x,y)=0 x=y;

2. x,yХ: (x,y)=(y, х);

3. x, y, z Х: (x,y)(x,z)+(z,y).

Множество Х вместе с метрикой  называется метрическим пространством и обозначается символом (Х, ).

Замечание. Условия 1)-3) называют также аксиомами, условие 2) – аксиомой симметрии; а 3) – неравенством треугольника.

Примеры 28.1.

Пусть Х=IR и (x,y)=x-y, x,yIR. Тогда (IR,) – метрическое пространство с обычным расстоянием.

Пространство (IR^m,). Пусть для фиксированного m X=IR^m:={(x₁,x₂,..,x_m):x_iIR, 1 i m} и {x=(x₁,x₂,..,x_m), y=(y₁,y₂,..,y_m)}IR^m пусть (x,y):= . Докажем, что  - метрика в IR^m. Условия 1) и 2) выполняются. Согласно неравенству Коши для x=(x₁,x₂,..,x_m)IR^m, y=(y₁,y₂,..,y_m)IR^m, z=(z₁,z₂,..,z_m)IR^m, получим ²(x,y)= .

Учитывая условие:

1) получим неравенство

3) Таким образом,  - метрика на IR^m, а (IR^m,) – метрическое пространство. Обычно эту метрику называют евклидовой.

1. Пространство (l₂, ). Пусть Х= l₂ := {x=(x_n)=(x₁,x₂,..,x_n,…)} n1: x_nIR - пространство бесконечных числовых последовательностей, для которых ряд сходится и для xl₂, yl₂ . Проверку условий 1)-3) можно выполнить в качестве упражнения.

2. Пространство (С([a, b]), ). Это пространство функций непрерывных на отрезке [a, b].Пусть x  С([a, b]) и {x, y} С([a, b])  (x, y):= . Расстояние  в этом случае имеет простой геометрический смысл и представляет собой максимум модуля разности ординат точек графиков функций, когда аргумент пробегает отрезок [a, b]. Свойства 1)-3) метрики  легко проверить.

3. Пусть Х – метрическое пространство, тогда имеет место неравенство треугольника {x, y, z}X: (x,z) - (z,y)(x,y) .

Решение. Следуя аксиомам 3) и 2), получим (x,z)(x,y)+(z,y)(x,z)-(z,y)(x,y).

Аналогично (z,y)(z,x)+(x,y)(z,y)-(x,z)(x,y).

Согласно свойствам модуля вещественного числа оба неравенства и равносильны доказываемому.

4. Для любого конечного набора x₁,x₂,..,x_n точек из метрического пространства Х выполняется неравенство (x₁,x_n)(x₁,x₂)+(x₂,x₃)+ (x₃,x₄)+…+ (x_n-1,x_n), называемое неравенством многоугольника.

Доказательство этого неравенства можно получить вследствие последовательного применения аксиомы 3).

Определение 28.2. Последовательность {x_n}, n = 1, 2, … элементов метрического пространства (Х, ) называется фундаментальной, если (х_n, у_m)  0, когда n, m стремятся к бесконечности.

Определение 28.3. Метрическое пространство (Х, ) называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится к некоторому пределу, являющемуся элементом этого пространства.

IR, IRⁿ , C[a, b] – полные метрические пространства.