2. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Индивидуальное домашнее задание №2 «ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ»

Вариант 1.

1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

2. Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: 0,7 и 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

3. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего, для первого станка равна 0,9, для второго — 0,8, для третьего — 0,7. Найти: 1) вероятность р того, что в течение часа ни один из трех станков не потребует внимания рабочего; 2) вероятность того, что в течение часа по крайней мере один из станков не потребует внимания рабочего. 

Вариант 2.

1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую — 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

2. В посевах пшеницы на поле 95% здоровых растений. Берут любые два растения. Найти вероятность того, что хотя бы одно из них здоровое.

3. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе – 0,9, в третье – 0,8. Найти вероятность того, что только одно отделение получит газеты вовремя.

Вариант 3.

1. По статистике, в прошлом году 10% жителей нашего города встретили Новый год в отъезде, 40% ходили в гости или в ресторан, оставаясь в городе, остальные встречали Новый год дома. Считая, что эта тенденция сохранится, посчитайте вероятность того, что житель нашего города встретит Новый год дома.

2. Какова вероятность того, что число, выбранное наугад из всех трехзначных чисел, делится хотя бы на одно из чисел 4 и 6?

3. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадет в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Вариант 4.

1. Владелец фирмы частных такси хочет сделать прогноз количества клиентов на новогоднюю ночь. Пусть, по его сведениям, в прошлом году Новый год встретили дома 50%, в компании друзей или родственников, но не выезжая из города - 80%, в отъезде были 10%. Почему у него получилось в сумме больше 100%? 

2. Из урны, в которой 5 белых и 10 черных шаров, вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые (событие А), если выбор осуществляется:

1. с возвращением;

2. без возвращения.

3. По мишени стреляют три стрелка. Вероятности попадания соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что  попадут какие – либо два стрелка.

Вариант 5.

1. Из урны, содержащей 6 белых, 4 черных и 2 оранжевых шара, наугад одновременно извлекают 3 шара. Какова вероятность того, что это будут шары одного цвета?

2. Среди 50 электрических лампочек 3 нестандартные. Найти вероятность того, что две взятые одновременно лампочки нестандартные.

3. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Вариант 6.

1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

2. Два спортсмена независимо друг от друга стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первого спортсмена равна 0,7, а второго – 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?

3. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический.

Вариант 7.

1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,55, во вторую – 0,35. Найти вероятность того, стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

2. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что два учебника окажутся в переплете.

3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором – черный (событие В) и при третьем – синий (событие С).

Вариант 8.

1. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете (событие А).

2. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

3. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе – 0,9, в третье – 0,8. Найти вероятность того, что хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

Вариант 9.

1. В ящике 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик взял наудачу три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена (событие А).

2. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для второго – 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделают по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков?

3. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Вариант 10.

1. В ящике 10 деталей, среди которых 2 нестандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали.

2. В электрическую цепь последовательно включены 2 предохранителя. Вероятность выхода первого из строя равна 0,6; второго – 0,2. Найти вероятность прекращения питания в результате выхода из строя хотя бы одного из предохранителей.

3. Три стрелка, попадающие в цель независимо друг от друга с вероятностями 0,5; 0,4 и 0,3 соответственно, выстрелили по мишени одновременно. Какова вероятность того, что в мишени образовалось две пробоины?

Вариант 11.

1. В партии из 10 деталей 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная.

2. В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.

3. Три стрелка, попадающие в цель независимо друг от друга с вероятностями 0,5; 0,4 и 0,3 соответственно, выстрелили по мишени одновременно. Какова вероятность того, что в мишени образовалась одна пробоина?

Вариант 12.

1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 10000 билетов разыгрывается 150 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?

2. В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3 спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены являются мастерами спорта?

3. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того, что студент ответит на 1 и 2 вопросы равна 0,9; на 3 вопрос – 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить хотя бы на 2 вопроса.

Вариант 13.

1. Из урны, содержащей 10 белых, 8 черных и 1 оранжевый шар, наугад одновременно извлекают 3 шара. Какова вероятность того, что это будут шары одного цвета?

2. В два почтовых отделения отправлена почта. Найти вероятность того, что хотя бы одно отделение получит почту вовремя, если вероятность получения вовремя для каждого отделения 0,9 .

3. Покупатель может приобрести акции трех компаний: А , В и С . Надежность первой оценивается экспертами на уровне 90%, второй – 83 % и третьей – 86 %. Чему равна вероятность того, что только одна компания в течение года станет банкротом?

Вариант 14.

1. Из урны, содержащей 5 белых, 4 синих и 3 красных шара, наугад одновременно извлекают 3 шара. Какова вероятность того, что это будут шары одного цвета?

2. Ученик получает оценку от 2 до 5 баллов. Вероятность того, что ему поставят 4, 3, 2 соответственно равны 0,45, 0,23 и 0,09. Определить вероятность того, что ученик получит 5.

3. Покупатель может приобрести акции трех компаний: А , В и С . Надежность первой оценивается экспертами на уровне 90%, второй – 83 % и третьей – 86 %. Чему равна вероятность того, что две компании обанкротятся?

Вариант 15.

1. Из урны, содержащей 5 белых, 4 синих и 3 красных шара, наугад одновременно извлекают 3 шара. Какова вероятность того, что среди них найдутся два шара разного цвета?

2. Вероятность попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: 0,6 и 0,85. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

3. Покупатель может приобрести акции трех компаний: А , В и С . Надежность первой оценивается экспертами на уровне 90%, второй – 83 % и третьей – 86 %. Чему равна вероятность того, что наступит хотя бы одно банкротство?

Вариант 16.

1. В урне 25 шаров: 8 желтого, 4 зеленого и 13 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

2. В посевах ржи на поле 80% здоровых растений. Берут любые два растения. Найти вероятность того, что хотя бы одно из них здоровое.

3. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента равна 0,2; вероятность выхода из строя второго элемента равна 0,3. Найти вероятность того, что: a) оба элемента выйдут из строя; b)оба элемента будут работать.

Вариант 17.

1. На полке библиотеки в случайном порядке расставлено 18 книг, причем шесть из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три книги. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых книг окажется в переплете (событие А).

2. Из урны, в которой 5 белых и 10 черных шаров, вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые (событие А), если выбор осуществляется:

1. с возвращением;

2. без возвращения.

3. В соревнованиях между спортивными обществами А и В принимают участие три команды. Если первая команда общества А будет играть с первой командой общества В, вторая со второй, а третья с третьей, то вероятность выигрыша команд общества А будет соответственно: 0,8; 0,4; 0,4. Для победы надо выиграть не менее чем два матча из трех (ничьих не бывает). Победа какого общества более вероятна?

Вариант 18.

1. Владелец фирмы частных такси хочет сделать прогноз количества клиентов на новогоднюю ночь. Пусть, по его сведениям, в прошлом году Новый год встретили дома 45%, в компании друзей или родственников, но не выезжая из города - 85%, в отъезде были 10%. Почему у него получилось в сумме больше 100%? 

2. Какова вероятность того, что число, выбранное наугад из всех трехзначных чисел, делится хотя бы на одно из чисел 4 и 6?

3. В урне находятся 4 белых и 6 черных шаров. Из нее три раза наугад вынимают по одному шару. Требуется найти вероятность того, что все три вынутых шара окажутся белыми (событие A), при выполнении двух разных условий:

1. извлеченные из урны шары обратно не возвращаются;

2. после каждого извлечения шар возвращается обратно.

Вариант 19.

1. В ящике 15 деталей, из которых пять окрашены. Сборщик взял наудачу три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена (событие А).

2. Три радиостанции независимо друг от друга передают самолету один и тот же сигнал. Предположим, что вероятности того, что самолетом будут приняты эти сигналы, соответственно равны: 0.9,  0.8,  0.75. Требуется найти вероятность того, что самолет примет посылаемый ему сигнал (событие А).

3. Артиллерийское орудие ведет стрельбу по приближающейся цели, располагая 3-мя снарядами. Вероятность попадания в начале стрельбы 0,4 и увеличивается на 0,1 при каждом следующем выстреле. Какова вероятность 2-х попаданий при 3-х выстрелах.

Вариант 20.

1. В ящике 12 деталей, среди которых 3 нестандартных. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных 6 деталях окажется не более одной нестандартной детали.

2. Среди 50 электрических лампочек 3 нестандартные. Найти вероятность того, что две взятые одновременно лампочки нестандартные.

3. Рабочий обслуживает четыре станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребует первый станок, равна 0,1, второй - 0,2, третий - 0,15, четвертый - 0,12. Какова вероятность того, что в течение часа ни один станок не потребует внимания рабочего?

Вариант 21.

1. В партии из 15 деталей 9 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 2 деталей есть хотя бы одна стандартная.

2. Два спортсмена независимо друг от друга стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первого спортсмена равна 0,7, а второго – 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?

3. Рабочий обслуживает четыре станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребует первый станок, равна 0,1, второй - 0,2, третий - 0,15, четвертый - 0,12. Какова вероятность того, что в течение часа какой-то один станок потребует его внимания?

Вариант 22.

1. В денежно-вещевой лотерее на каждые 1000 билетов разыгрывается 100 вещевых и 50 денежных выигрышей. Чему равна вероятность выигрыша, безразлично денежного или вещевого, для владельца одного лотерейного билета?

2. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что два учебника окажутся в переплете.

3. Многолетний опыт показал, что в данном районе в сентябре 10 любых дней бывают дождливыми. Определить вероятность того, что ни один из первых трех дней сентября дней не будет дождливым.

Вариант 23.

1. Из урны, содержащей 12 белых, 10 черных и 2 оранжевый шар, наугад одновременно извлекают 3 шара. Какова вероятность того, что это будут шары одного цвета?

2. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

3. Имеется 30 экзаменационных билетов. При вытягивании невыученного билета разрешается вторая попытка. Сколько билетов нужно выучить, чтобы вероятность сдать экзамен была не меньше 90%?

Вариант 24.

1. От коллектива бригады, которая состоит из 6 мужчин и 4 женщин, на профсоюзную конференцию выбирается два человека. Какова вероятность, что среди выбранных хотя бы одна женщина (событие А).

2. Ведутся поиски двух преступников. Каждый из них независимо от другого может быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5. Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаружен хотя бы один преступник?

3. Студент выучил 20 билетов из 30. Посчитать вероятности сдать экзамен Людмиле Николаевне (допускается только одна попытка тянуть билет), Валерию Васильевичу (допускается две попытки) и Елене Павловне (допускается три попытки). Найти вероятность сдать все три экзамена.

Вариант 25.

1. По статистике, в прошлом году 8% жителей нашего города встретили Новый год в отъезде, 45% ходили в гости или в ресторан, оставаясь в городе, остальные встречали Новый год дома. Считая, что эта тенденция сохранится, посчитайте вероятность того, что житель нашего города встретит Новый год дома.

2. Ведутся поиски двух преступников. Каждый из них независимо от другого может быть обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5. После поимки одно из них, в связи с увеличением количества сотрудников, занятых в поисках,  вероятность найти второго возрастает до 0,7. Какова вероятность того, что в течение суток будет обнаружены оба преступника.

3. Вероятность попадания стрелка в цель при одном выстреле равна 0,2. Сколько выстрелов должен сделать стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 попасть в цель хотя бы один раз?