6.4. Три задачи выборочного наблюдения

Различают три задачи выборочного наблюдения:

1. определение объема выборки, необходимого для получения требуемой точности результатов с заданной вероятностью;

2. определение предельной ошибки с заданной вероятностью и сравнение ее с допустимой погрешностью;

3. определение вероятности того, что ошибка не превысит допустимой погрешности.

Задача 1. Определение объема выборки

Для получения формулы расчета объема выборки, необходимого для получения требуемой точности результатов с заданной вероятностью, достаточно выразить n из формулы предельной ошибки:

.

Объем выборки рассчитывается на стадии подготовки выборочного наблюдения, поэтому вместо действительного значения среднего квадратичного отклонения (которое пока неизвестно) используется его оценка, которая определяется одним из следующих способов:

– по результатам прошлых исследований;

– как 1/3 от средней величины признака ( );

– как 1/6 от размаха вариации признака ( );

– для относительных величин принимается равным максимальному значению 0,5 (дисперсия при этом равна 0,25).

Пример. Рассчитать объем выборки, если необходимо, чтобы с вероятностью 0,900 погрешность оценки не превышала следующих значений:

– по показателю средний доход 1000 руб.;

– по показателю средний возраст 2 года;

– по показателю средний стаж 3 года.

Значения СКО по данным прошлого исследования соответственно 15 тыс. руб., 24,5 года, 38,2 года.

Решение.

1. Рассчитаем объем выборки, который необходим для обеспечения требований точности и надежности оценки по первому показателю. Для этого по значению доверительной вероятности 0,900 находим по таблице (приложение 1) значение коэффициента доверия t = 1,65 (поскольку значение 0,900 в таблице отсутствует, выбираем t по ближайшему большему значению: 0,9011):

.

Полученное числовое значение округляем до ближайшего большего целого.

2. Рассчитаем объем выборки, который необходим для обеспечения требований точности и надежности оценки по второму показателю:

.

3. Рассчитаем объем выборки, который необходим для обеспечения требований точности и надежности оценки по третьему показателю:

.

Полученное числовое значение округляем до ближайшего большего целого, несмотря на то, что 0,4 < 0,5, так как при любом округлении в меньшую сторону точность оценки при заданной доверительной вероятности окажется меньше, т. е. требование по точности не будет выполнено.

4. Определение объема выборки, который необходим для обеспечения требований точности и надежности оценки по трем показателям одновременно.

Очевидно, что требования по трем показателям одновременно обеспечит наибольший из трех размер выборки. Следовательно, n = 613.

Ответ: n = 613.

Примечание. Если расчетные значения различаются больше чем в 6 раз, то целесообразна многофазовая выборка.

Например, если по второму показателю необходим размер выборки n = 100, а по третьему n = 1000, то о стаже работы следует спрашивать каждого из 1000 респондентов, а о возрасте – только каждого десятого.

Задача 2. Определение предельной ошибки

Данная задача решается после проведения выборочного исследования, чтобы определить, какая предельная ошибка в действительности характеризует проведенные оценки. Величина ошибки может отличаться от заложенной в расчете при определении объема выборки, если оценка дисперсии была ошибочной.

Расчетная формула

.

Пример. На заводе электроламп отобрано для проверки 100 ламп. Средняя продолжительность их горения составила 1420 часов со СКО = 61,03 часа. Вся партия – 50 000 ламп. Доверительная вероятность оценки – 0,954. Рассчитать предельную ошибку и доверительный интервал средней продолжительности горения ламп во всей партии.

Решение.

1. Определяем предельную ошибку:

.

2. Определяем доверительный интервал:

.

Ответ: с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя продолжительность горения ламп во всей партии не менее 1407,8 и не более 1432,2 часа.

Задача 3. Определение доверительной вероятности

Задача решается в случае, когда при заданной вероятности действительная предельная ошибка выполненной по выборочным данным оценки оказалась выше, чем планировалось и надо ответить на вопрос: «С какой степенью вероятности обеспечивается проектная величина ошибки?».

Доверительная вероятность определяется по таблице на основе предварительно рассчитанного значения коэффициента доверия.

Формула расчета коэффициента доверия выводится все из той же исходной формулы предельной ошибки, связывающей воедино параметры точности, надежности, вариации и объема выборки:

.

Пример. Минимальная продолжительность горения лампы по договору поставок – 1410 часов. Средняя продолжительность по выборке – 1420 часов (условия предыдущей задачи). Следовательно, допустимая погрешность – 10 часов. По результатам расчета эта величина составила 12,2 часа. С какой вероятностью предельная ошибка не превысит 10?

Решение.

1. Определяем значение коэффициента доверия:

.

2. Определяем по таблице значение доверительной вероятности:

.

Ответ: в интервал от 1410 до 1430 часов продолжительность горения ламп попадает с вероятностью 89,9 %.