8.2. Измерение и оценка тесноты связи

Для принятия эффективных управленческих решений часто необходимо знать, в какой мере социально-экономические явления и процессы связаны между собой. Например, если мы хотим изменить (увеличить или уменьшить) параметры явления, на которое мы не можем воздействовать непосредственно, то можно определить, какие факторы находятся с этим явлением в тесной причинно-следственной связи, и оказывать влияние опосредованно, через изменение параметров, находящихся в сфере нашего влияния. Или, например, необходимо выявить факторные признаки, тесно связанные с результативным признаком, для того чтобы построить уравнение регрессии и иметь возможность прогнозировать значения признака-результата. И в том и в другом случае необходимо определить тесноту связи между признаками, т. е. провести корреляционный анализ.

Процедура корреляционного анализа включает в себя:

1. построение поля корреляции;

2. построение корреляционной решетки;

3. расчет показателей корреляции;

4. анализ и оценку наличия, направления и тесноты корреляционной связи по графику, группировке и расчетным показателям.

Поле корреляции – это графическое отображение связи между переменными – множество точек, координатами которых являются пары значений признаков по всем единицам совокупности. Анализируя график расположения и концентрации точек на координатном поле, можно сделать предположение о наличии, направлении и тесноте связи между признаками. Кроме того, поле корреляции является эффективным способом деления диапазона изменения признака на интервалы при расчете интервальных показателей тесноты связи (ЭКО, коэффициент детерминации).

Корреляционная решетка – это аналитическая группировка единиц совокупности по двум признакам, между которыми оценивается связь (табл. 8.2).

Таблица 8.2

Зависимость заработной платы рабочих от стажа работы

Стаж, лет	Заработная плата, тыс. руб./мес.
	До 5,0	5,0–7,5	7,5–10,0	10,0–12,5	12,5–15,0	Свыше 15,0	Итого
До 5	4	1	–	–	–	–	5
5…10	4	3	1	2	–	–	10
10…15	–	–	–	2	4	6	12
15-20	–	1	2	3	3	2	11
Свыше 20	–	–	–	2	4	6	12
Итого	8	5	3	9	11	14	50

Анализируя расположение единиц совокупности на поле представленной корреляционной решетки, можно сделать вывод о том, что по направлению связь прямая (с увеличением стажа работы увеличивается и заработная плата) и сделать предположение о наличии корреляционной связи, так как заметна концентрация единиц статистической совокупности по диагонали таблицы.

В расчетной части корреляционного анализа (третий этап) необходимо, прежде всего, выбрать наиболее подходящие для каждой пары признаков показатели корреляции. При выборе показателей корреляции следует проанализировать все множество основных показателей с точки зрения их применимости и целесообразности расчета для конкретной пары признаков. Основные показатели корреляции:

1. коэффициент корреляции;

2. эмпирическое корреляционное отношение (ЭКО);

3. коэффициент детерминации;

4. коэффициент Спирмена;

5. коэффициент Кендалла;

6. коэффициент Фехнера;

7. коэффициент Пирсона;

8. коэффициент Чупрова;

9. коэффициент ассоциации и коэффициент контингенции.

Каждый из перечисленных показателей имеет определенное назначение, область применения, расчетную формулу и особенности интерпретации числовых значений.

Первые три показателя называются параметрическими и предназначены для оценки тесноты связи между количественными признаками. Следующие шесть показателей называются непараметрическими и предназначены для оценки тесноты связи между описательными признаками.

Рассмотрим последовательно особенности каждого показателя.

1. Коэффициент корреляции:

• рассчитывается по формулам:

,

где и – индивидуальные значения соответственно признаков X и Y; и – средние значения соответственно признаков X и Y;

;

;

• применяется для оценки тесноты связи между количественными признаками;

• измеряет только линейную связь;

• диапазон изменения показателя ;

• чем ближе по абсолютной величине значение показателя к 1, тем теснее связь между признаками;

• знак значения показателя указывает на направление связи: если > 0, то связь прямая, если < 0, то связь обратная.

2. Эмпирическое корреляционное отношение (ЭКО):

• рассчитывается по формуле

,

где и – соответственно межгрупповая и общая дисперсии одного из пары признаков (как правило, результативного);

• применяется для оценки тесноты связи между количественными признаками, а также, если количественным является только один из пары признаков;

• измеряет тесноту связи любого вида (прямолинейная, параболическая, гиперболическая и т.п.);

• при интерпретации числовых значений следует учитывать вариант разбиения на интервалы диапазона значений признака;

• диапазон изменения показателя ;

• чем ближе значение показателя к 1, тем теснее связь между признаками.

3. Коэффициент детерминации:

• рассчитывается по формуле ;

• является квадратом ЭКО, следовательно, имеет те же особенности применения (см. п. 2);

• имеет очевидную логическую интерпретацию: показывает долю вариации одного признака, обусловленную вариацией другого признака.

4. Коэффициент Спирмена:

• рассчитывается по формуле

,

где – разность рангов i-тых значений признаков Х и Y (ранг – это порядковый номер значения признака в упорядоченной по возрастанию последовательности значений признака); n – количество единиц в выборке;

• является коэффициентом корреляции рангов значений признаков;

• может быть рассчитан только для тех признаков, значения которых поддаются ранжированию.

• не выявляет наличие связи при немонотонной зависимости между признаками;

• диапазон изменения показателя ;

• чем ближе по абсолютной величине значение показателя к 1, тем теснее связь между признаками;

• знак значения показателя указывает на направление связи: если > 0, то связь прямая, если < 0, то связь обратная.

5. Коэффициент Кендалла:

• рассчитывается по формуле

,

где S – сумма положительных и отрицательных баллов рангов значений признака Y;

где – определяется как число значений рангов Y, расположенных ниже (при вертикальном расположении значений Х и Y) ранга и по величине больших ранга ; – определяется как число значений рангов Y, расположенных выше ранга и по величине больших ранга (баллы учитываются в сумме со знаком «–»);

• может быть рассчитан только для тех признаков, значения которых поддаются ранжированию;

• не выявляет наличие связи при немонотонной зависимости между признаками;

• диапазон изменения показателя ;

• чем ближе по абсолютной величине значение показателя к 1, тем теснее связь между признаками;

• знак значения показателя указывает на направление связи: если > 0, то связь прямая, если < 0, то связь обратная.

Для расчета коэффициентов Спирмена и Кендалла удобно использовать табл. 8.3.

Таблица 8.3

К расчету ранговых коэффициентов

X	Y	Ранг признака X	Ранг признака Y	Разность рангов		Баллы для ранга
						Отрица- тельные	Положительные	Итого
x1	у1
x2	y2
x3	y3
…	…
xi	yi
…	…
xk	yk
Итого

6. Коэффициент Фехнера:

• рассчитывается по формуле

,

где С – число пар отклонений значений признаков Х и Y от соответствующих средних с совпадающими знаками ( ; или ; ); Н – число пар отклонений значений Х и Y от соответствующих средних с несовпадающими знаками ( ; < или ; > );

• диапазон изменения показателя ; чем ближе по абсолютной величине значение показателя к 1, тем теснее связь между признаками;

• знак значения показателя указывает на направление связи: если >, то связь прямая, если < 0, то связь обратная;

• является достаточно приближенным и используется для экспресс-оценки.

Для расчета коэффициента Фехнера удобно пользоваться табл. 8.4.

Таблица 8.4