Тема 8. Корреляционно-регрессионный анализ и моделирование статистических связей

1. Понятие корреляционной связи и корреляционно-регрессионного анализа (КРА).

2. Условия применения и ограничения КРА.

3. Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов.

4. Применение парного линейного уравнения регрессии.

5. Показатели тесноты связи.

6. Множественная регрессия.

1. Понятие корреляционной связи и корреляционно-регрессионного анализа (кра).

Различают два типа связей между явлениями:

- функциональная;

- статистическая.

Функциональной называется такая связь, когда с изменением значения одной из переменных вторая изменяется строго определенным образом, т.е. значению одной переменной соответствует одно или несколько точно заданных значений другой переменной.

Функциональная связь возможна лишь в том случае, когда переменная y зависит только от переменной x и не зависит от других факторов.

Статистическая связь существует в том случае, когда с изменением значения одной переменной вторая может в определенных пределах принимать любые значения, а ее статистические характеристики изменяются по определенному закону.

Важнейший частный случай статистической связи – корреляционная связь, т.е. такая связь, когда разным значениям одной переменной соответствуют различные средние значения другой, т. е. с изменением значения признака x закономерным образом изменяется среднее значение признака y; в то время, как в каждом отдельном случае значение признака y (с различными вероятностями) может принимать множество различных значений.

Если же с изменением значений признака x среднее значение признака y не изменяется закономерным образом, но закономерно изменяется другая статистическая характеристика (коэффициент вариации), то связь является не корреляционной, но статистической.

Пути возникновения корреляционной связи:

- причинная зависимость вариации результативного признака от вариации факторного признака;

- связь между двумя следствиями одной причины;

- взаимосвязь признаков, каждый из которых и причина, и следствие одновременно.

Парная корреляция – связь между двумя признаками, результативным и факторным.

Множественная корреляция – зависимость результативного признака от двух и более факторных признаков, включенных в исследование.

Задача корреляционного анализа – количественная оценка тесноты связи.

Задача регрессионного анализа – определение аналитического выражения связи.

КРА как общее понятие включает в себя изменение тесноты связи и установление аналитического выражения связи.

2. Условия применения и ограничения кра.

- наличие массовых данных, т.к. корреляционная связь является статистической;

- необходима качественная однородность совокупность;

- близость распределения совокупности по результативному и факторному признаку, нормальному закону распределения, что связано с применением метода наименьших квадратов.

3. Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи.

По направлению связь различают:

- прямую, т.е. с увеличением признака x, происходит увеличение признака y.

- обратную, т.е. с увеличением признака x, происходит уменьшение признака y.

Способы определения параметров уравнения регрессии:

1. Графический

2. Метод наименьших квадратов (МНК)

Исходное условие МНК для прямой линии:

Таким образом при применении МНК минимизируется сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от значений, рассчитанных по выбранному уравнению регрессии.

Система нормальных уравнений для линейной зависимости:

Система нормальных уравнений для параболической зависимости.

Система нормальных уравнений для гиперболы.

Коэффициент парной линейной регрессии (b) измеряет силу связи, т.е. характеризует среднее по совокупности отклонение признака y от его средней величины при отклонении признака x от своей средней величины на принятую единицу измерения. Положительный коэффициент регрессии говорит о прямой связи, отрицательный – об обратной.