29.Зменшення похибки інтерполяції за рахунок оптимального вибору вузлів

26.Апріорна похибка інтерполяції поліномами.

Зафіксуймо точку x.

r_n(x) = f(x) - P_n(x).

Нехай

та g(s) = f(s) - P_n(s) - k w(s),

де w(s) = (s - x₀) (s - x₁) … (s - x_n).

При s = x_i, i = 0, 1, …, n, w(x_i) = 0. Тому g(x_i) = 0, бо f(x_i) = P_n(x_i). Виберемо деяку точку x x_i, i = 0, 1, …, n, та виберемо k так, щоби g(x) = 0. Тоді

0 = f(x) - P_n(x) - k w(x); k = (f(x) - P_n(x)) / w(x); Враховуючи, що w⁽ⁿ⁺¹⁾(s) = (n+1)!, та те, що g(s) має n+2 нулі на [a;b], то g'(s) має n+1 нуль, g''(s) має n нулів, … g⁽ⁿ⁺¹⁾(s) має принаймні один нуль. Нехай це має місце при s = Тоді