16.Обчислення впливу похибки вхідних даних на результат

17.Метод простих ітерацій чисельного розв’язання систем нелінійних рівнянь.

Нехай система нелінійних рівнянь (4.2) приведена до спеціального вигляду , де функції дійсні, визначені і неперервні в деякій області ізольованого розв’язку цієї системи.

Як відомо з розділу 2, для визначення вектора-кореня цієї системи зручно користуватисяметодом простої ітерації, де ітераційний процес організується за формулою , обравши якесь початкове наближення .

Уведемо . Нехай кожне рівняння системи має вигляд , причому задовольняє умову Ліпшиця , тоді при цей ітераційний процес збігається. Цей факт випливає з принципу стискаючих відображень, причому

Якщо R – сукупність векторів , для яких , то в R є єдиний розв’язок. Розглянемо матриці

Далі – як в ітераційних процесах. Для того щоб ітераційний процес збігався, необхідно й достатньо виконання умови , при . Цю умову важко перевірити, тому використовується достатня умова при будь-якому k .

При виконанні умов збіжності ітераційного процесу для розв’язання системи нелінійних рівнянь можна застосовувати аналог методу Зейделя:

Теорема 1 Нехай область G замкнена і відображення є стискаючим у G, тобто виконана умова . Тоді, якщо для ітераційного процесу всі послідовні наближення x^(p)є G, то:

1. незалежно від вибору початкового наближення ітераційний процес збігається, тобто існує

при ;

2. граничний вектор x^* є єдиним розв’язком рівняння в G ;

1. справедлива оцінка .

Теорема 2Нехай і неперервні в області G, причому в G виконується нерівність

.

Якщо послідовні наближення

не виходять з G, то процес ітерації збігається і граничний вектор при є в G єдиним розв’язком.

18.Метод Ньютона чисельного розв’язання систем нелінійних рівнянь.

Нехай, керуючись підходами, викладеними в розділі 2, знайдено p-е наближення

одного з ізольованих коренів векторного рівняння (4.2). Тоді точний корінь можна подати у вигляді

, (4.3)

де - похибка кореня.

Підставимо (4.3) у (4.2):

. (4.4)

Нехай – неперервна диференційована функція в деякій опуклій області, що містить і , розкладемо ліву частину (4.4) в ряд за степеням малого вектора , обмежившись лінійними членами:

(4.5)

З (4.5) випливає, що під треба розуміти матрицю Якобі системи функцій f₁, f₂,…,f_n щодо x₁,x₂,…,x_n

Система (4.5) являє собою систему лінійних рівнянь відносно похибок (i=1,2,…,n) з матрицею W(x), тому формула (4.5) набере вигляду

_.

Допускаючи, що W(x)– невироджена, знаходимо

,

значить,

. (4.6)

Отримали інтерполяційну формулу Ньютона для СНАР. Очевидно, формула (4.6) дозволить побудувати збіжну до кореня ітераційну послідовність за умови, що відображення буде стискаючим. Для цього треба правильно обрати нульове наближення .

Теорема 3. Маємо нелінійну систему рівнянь з дійсними коефіцієнтами (4.2), де вектор-функція визначена і неперервна разом зі своїми частковими похідними 1-го і 2-го порядків в області . Вважатимемо, що є точка, яка лежить у  разом зі своїм замкненим -околом. Причому виконані умови:

1. Матриця Якобі при = має обернену Г₀, де ||Г₀||<=A₀, (в змісті m-норми)

2. ||Г₀f(x⁰)||<=B₀<=H/2

3. <=C при i,j=1,2,…,n

4. постійні A₀, B₀ і C задовольняють нерівність ₀=2n₀B₀C<=1

Тоді процес Ньютона (4.6) при початковому наближенні збігається і граничний вектор

є розв’язком системи таким, що ||x*-x⁰||<=2B₀<=H.