7.Метод простих ітерацій чисельного розв’язання нелінійних рівнянь.

Замінимо рівняння еквівалентним йому рівнянням .Виберемо деяке наближення кореня і підставимо його в праву частину. Одержимо . Далі обчислюємо за формулами: . Отримуємо послідовність наближень { } до кореня, що у випадку її збіжності до кореня може дати наближене його значення із заданою точністю .

Теорема 6Нехай функція (x) визначена і диференційована на відрізку [a,b], причому всі значення (х) [a,b] .Тоді якщо існує правильний дріб q, такий, що

^(x) q <1 (2.9)

при a<x<b,то: процес ітерації

x_n=(x_n-1) (n = 1,2,…)(2.10)

1. збігається незалежно від початкового значення x₀[a,b];

2. граничне значення є єдиним коренем рівняння x=(x) (2.11)

на відрізку [a,b].

8.Ітераційний метод Ньютона розв’язання нелінійних рівнянь.

Метод Ньютона (метод дотичних) для наближеного розв’язку рівняння полягає в побудові ітераційної послідовності

, (2.22)

що збігається до кореня рівняння, на відрізку локалізації кореня.

Теорема 7 Якщо f(a) f(b)<0, причому f(x) і f(x) не дорівнюють нулю і зберігають певні знаки при a  x  b, то, виходячи з початкового наближення x₀[a,b], що задовольняє нерівність

, (2.23)

можна обчислити методом Ньютона єдиний корінь  рівняння з будь-яким ступенем точності.

9.10.11.Методи розв’язання СЛАР.Точні методи розв’язання СЛАР.Наближені методи розв’язання СЛАР.Методи чисельного розв’язання СЛАР поділяються на точні і наближені. Метод вважають точним, якщо, нехтуючи похибками округлення, він дає точний результат після виконання певної кількості обчислювальних операцій. Математичні пакети прикладних програм для ПЕОМ містять стандартні процедури розв’язання СЛАР такими поширеними точними методами, як метод Гауса, метод Жордана-Гауса, квадратного кореня та інші.

До наближених методів розв’язання СЛАР належать метод простої ітерації, метод Зейделя, метод релаксації та інші. Вони дозволяють отримати послідовність наближень до розв’язку таку, що .

12.Метод простих ітерацій чисельного розв’язання СЛАР. Розглянемо СЛАР (3.1) з невиродженою матрицею (det A ≠ 0). Розв’яжемо систему (3.1) щодо невідомих при ненульових діагональних елементах a_ii≠ 0,i= 1…n Одержимо систему у вигляді

(3.26)

або у векторно-матричній формі X=β+αX.

Тут .

Вирази для компонентів вектора β та матриці α еквівалентної системи:

(3.27)

При такому способі приведення вихідної СЛАР до еквівалентного вигляду метод простих ітерацій ще називають методом Якобі.

За нульове наближення X⁽⁰⁾ вектора невідомих візьмемо вектор правих частин X⁽⁰⁾=β або (x₁^(0),x₂⁽⁰⁾,…,x_n⁽⁰⁾)^*=(β₁,β₂,…,β_n)*. Тоді метод простих ітерацій набере вигляду

(3.28)

При цьому не відбувається накопичення похибки заокруглення.

Теорема.Метод простих ітерацій (3.28) збігається до єдиного розв’язку СЛАР(3.26)(а отже, й до розв’язку вихідної СЛАР (3.1)) при будь-якому початковому наближенні Х⁽⁰⁾, якщо яка-небудь норма матриці еквівалентної системи менше одиниці ║ ║‹1.