1. Склад похибки чисельного розв’язання задач. Усувні та неусувні похибки.

1) вхідні дані;2) математична модель;3) наближений метод;4) округлення при розрахунках.

2. Коректність та обумовленість обчислювальної задачі.Під обумовленістюобчислювальної задачі розуміють чутливість її розв’язку до малих похибок вхідних даних. Нехай установлена нерівність , де - абсолютна похибка вхідних даних, а - абсолютна похибка розв’язку. Тоді називається абсолютним числом обумовленості задачі. Якщо ж установлена нерівність між відносними похибками даних і розв’язку, то називають відносним числом обумовленості задачі. Як правило, під числом обумовленості розуміють відносне число обумовленості. Якщо , то задачу називають погано обумовленою.

3.Стійкість обчислювальної задачі.Під стійкістю обчислювальної схеми розуміють її стійкість стосовно похибок у вхідних даних і похибок округлення – для стійкої схеми малі похибки в даних і типові похибки округлення не призводять в остаточному підсумку до більших похибок.

4.Абсолютна, відносна та середньоквадратична похибка обчислень.Абсолютна похибка - це модуль різниці між відповідним точним значенням розглянутої величини А і наближеним її значенням а. Вона має вигляд

.Відносною похибкою наближеного значення величини, точне значення якої дорівнює А, називається відношення його абсолютної похибки до модуля точного значення, тобто . D[X]= . (1.7)

Величина називається в теорії похибок середньою квадратичною похибкою вимірювання

5.Стискаючі відображення , їх нерухомі тички та їх застосування в обчисленнях.Відображення f: XXназивається стискаючим, якщо існує таке число q є (0, 1), що

(2.4)

для всіх елементів х₁, х₂ є X.Стискаюче відображення f: XX має єдину нерухому точку х^* є X, яку можна знайти як границю послідовності

(2.5)

де х₀ — довільний елемент із X. Крім того виконується

6.Метричні простори. Поняття норми метричного простору.

Нехай X — непорожня множина і кожній парі елементів х, у з множини поставлено у відповідність невід’ємне число (х, у) з такими трьома властивостями:

1) (х, у) = 0 тоді і тільки тоді, коли х = у;

2) (х, у) = (у, х) (властивість симетрії);

3) (х, у) = (x, z) +(z, у) (нерівність трикутника).

Ці властивості виконуються для всіх х, у, z з X. Число (х, у) називають відстанню між елементами х та у. Множина X із заданою на ньому відстанню називається метричним простором. Розглянемо кілька прикладів метричних просторів.

У будь-якому метричному просторі Х з відстанню  можна визначити поняття збіжної фундаментальної послідовності.

Послідовність {х_n} = (х₁, х₂, ...) елементів метричного простору X називається збіжною до елемента х₀ є X, якщо для кожного >0 можна знайти таке натуральне число N, що (х_n, х₀)<  для всіх n > N. Елемент х₀ називається границею послідовності {х_n}, тобто .

Послідовність {х_n} елементів з X називається фундаментальною (чи послідовністю Коші), якщо для кожного >0 існує таке натуральне N, що (х_n, х_m)<  при всіх n, m > N.

Метричний простір X називається повним, якщо будь-яка фундаментальна послідовність з X збігається до деякого елемента з X.