5.8. Визначення максимуму і мінімуму функції за допомогою пакету Maxma

Схема дослідження функції у = f(x) на екстремум:

1. Знайти похідну y′ = f ′(x).

2. Знайти критичні точки функції, в яких похідна f ′(x) = 0 або не існує.

3.1. Досліджувати знак похідної зліва і справа від кожної критичної точки і зробити вивід про наявність екстремумів функції.

або

3.2. Знайти другу похідну f ′′(x) і визначити її знак в кожній критичній точці.

4. Знайти екстремуми (екстремальні значення) функції.

Приклад. Досліджувати на екстремум функцію y = x (x − 1)³.

В осередок введення задаємо функцію y = x (x − 1)³

(%i1) f(x):=x*(x-1)^3;

(%o1) f(x):=x*(x-1)^3

1. Визначаємо похідну y′ = f ′(x)

(%i2) define(df(x),diff(f(x),x));

(%o2) df(x):=3*(x-1)^2*x+(x-1)^3

2. Знаходимо критичні точки, в яких похідна f ′(x) = 0

(%i3) solve(df(x)=0,x);

(%o3) [x=1/4,x=1]

3. Визначаємо другу похідну f ′′(x)

(%i5) define(d2f(x),diff(df(x),x));

(%o5) d2f(x):=6*(x-1)*x+6*(x-1)^2

Визначаємо знак другої похідної в кожній критичній точці

(%i6) map(d2f,%o4);

(%o6) [6*(x-1)*x+6*(x-1)^2=9/4,6*(x-1)*x+6*(x-1)^2=0]

У точці друга похідна f ′′(4/3) = 9/4 > 0 , це означає, що функція f(x) в цій точці досягає мінімальне значення

(%i7) f(1/4);

(%o7) -27/256

або (%i25) %o7,numer;

(%o25) -0.10546875

У точці друга похідна f ′′(1) = 0, тому обчислюємо значення функції першою похідною зліва і справа точки .

(%i26) df(9/10);

(%o26) 0.026

(%i27) df(11/10);

(%o27) 0.034

оскільки перша похідна f ′(x) у околиці точки знаку не змінює, то в даній точці функція f(x) екстремуму не має.

Завдання для самостійного розв‘язання

Знайти найменше і найбільше значення функції

1) , [1;9] ; 2), [-1;6];

3) , [0;6] ; 4) , [-3;3];

5) , [1/2; 2] ; 6) , [-2; 1] .