103

5. Диференціальне числення функції

одній змінній.

5.1. Похідна функції, її геометричний і фізичний зміст.

Визначення. Похідній функції f(x) в точці х = х₀ називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу, якщо він існує.

. (5.1)

в

f(x)

f(x0 +(x) P

f

f(x0) M

  x

0 x0 x0 + (x x

Рис. 5.1.

Хай f(x) визначена на деякому проміжку (а, b). Тоді тангенс кута нахилу січної МР до графіка функції.

,

де ( - кут нахилу дотичної до графіка функції f(x) в точці (x₀, f(x₀)).

Кут між кривими може бути визначений як кут між дотичними, проведеними до цих кривих в якій - набудь точці.

Рівняння дотичної до кривої: . (5.2)

Рівняння нормалі до кривої: . (5.3)

Фактично похідна функції показує як би швидкість зміни функції, як змінюється функція при зміні змінній.

Фізичний зміст похідної функції f(t), де t - час, а f(t) - закон руху – миттєва швидкість руху.

Відповідно, друга похідна функції - швидкість зміни швидкості, тобто прискорення.

Функція у = f(x), що має похідну в кожній точці інтервалу (а, b), називається такою, що диференціюється в цьому інтервалі. Відповідно операція знаходження похідної функції називається диференціюванням.

Розглянемо основні властивості функцій, що диференціюються.

1. Теорема 1 (необхідна умова існування похідної) Якщо функція f(x) має похідну в точці х₀, то вона безперервна в цій точці.

2. Теорема 2. Якщо функція у = f(x) на інтервалі (а, b) монотонна і має в довільній точці х цього інтервалу похідну не рівною нулю, то зворотна функція х = φ (у) також має похідну у відповідній точці і рівна . (5.4)

Отже, похідна зворотної функції дорівнює зворотній величині похідної даної функції.

5.2. Основні правила диференціювання функцій

На практиці знаходження похідної функції часто пов'язане з певними труднощами, тому зручно користуватися надалі наступними правилами диференціювання.

Хай функції u = u (x) і v = v(x) – диференційовані в точці х . а C – постійна величина (C = const). Мають місце наступні правила:

1) ;

2) ;

3. (u ( v)( = u( ( v( ;

4. (u(v)( = u(v( + u((v ;

5. , якщо v ( 0 .

Ці правила можуть бути легко доведені на основі теорем про границі.

Нижче наводиться таблиця похідних елементарних функцій:

1) С( = 0	9)
2) ( xm )( = m xm-1	10)
3)	11)
4)	12)
5)	13)
6)	14)
7)	15)
8)	16)

Похідна складної функції.

Теорема. Хай функції y = f(u) і u = g(x) диференційовані у відповідній точці, причому область значень функції g(x) входить в область визначення функції f.

Тоді . (5.5)

Доведення. ,

(з урахуванням того, що якщо x0, то u0, тому u = g(x) – безперервна функція)

Тоді . Теорема доведена.

Приклади. Знайти похідну

1)

2)

Логарифмічне диференціювання.

На практиці у ряді випадків для знаходження похідної функції зручно спочатку прологарифмувати цю функція, а потім результат продиференціювати. Така подвійна процедура називається логарифмічним диференціюванням. Метод логарифмічного диференціювання зручно застосовувати для знаходження похідних складних, особливо показникових функцій, для яких безпосереднє обчислення похідної з використанням правил диференціювання представляється трудомістким.

Розглянемо функцію .

Тоді (lnx)= , оскільки . Враховуючи отриманий результат, можна записати . Тут відношення називається логарифмічній похідній функції f(x).

В результаті . (5.6)

Приклади. 1) Похідна степенево-показової функції

. (5.7)

2) ,

3) ,

.

Функція, задана параметрично

Хай залежність між аргументом х і функцією у задана в параметричному вигляді

, де t – параметрична змінна.

Знайдемо похідну, вважаючи, що функції x(t) і у(t) мають похідні і крім того x(t) має зворотну функцію t = φ(х). За правилом диференціювання зворотної функції (5.4)

.

За правилом диференціювання складної функції (5.5) маємо: , в результаті, тобто . (5.8)

Отримана формула (5.8) дозволяє знаходити похідну якщо залежність у від х задана параметрично.

Приклад.

Приклади для самостійного розв’язання

Знайти похідну

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)