1. Дослідити на збіжність ряд .

Розглянемо функцію , для якої . За інтегральною

ознакою =

= .

2. Дослідити на збіжність ряд .

Розглянемо функцію , для якої . За інтегральною ознакою

= .

Знакозмінні ряди. Ряд знакозмінний, якщо він містить нескінчен-ну множину позитивних і негативних елементів. Знакозмінний ряд є абсолютно збіжним, якщо сходиться ряд .

Достатня ознака збіжності знакозмінного ряду. Якщо збігається ряд , складений з модулів членів ряду, то збігається і сам знакозмінний ряд .

Знакопереміжним рядом називається ряд, для якого члени, які стоять поруч, мають різні знаки, тобто

. (8.3)

Достатня ознака збіжності знакопереміжного ряду (ознака Лейбніца) Якщо для знакопереміжного ряду :

1. послідовність абсолютних величин членів ряду монотонно спадає, тобто ;

2. загальний член ряду прямує до нуля , то ряд збігається.

8.2. Функціональні ряди

Ряд називається функціональним, якщо його елементи є функціями, які визначені на одній множені Х

(8.4)

Якщо при х = х₀ числовий ряд збігається, то точка х₀ називається точкою збіжності; якщо ж ряд розбігається - точкою розбіжності функці-онального ряду.

Степеневі ряди

. (8.5)

Області збіжності степеневого ряду (теорема Абеля).

1) Якщо степеневий ряд (8.5) збігається при x = x₀ , то він збігається і притому абсолютно для усіх ;

2. якщо степеневий ряд (9.3) розбігається при x = x₁, то він

розбігається для усіх .

Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду . Теорема Абеля ствер-дьжує, що якщо х₀ - точка збіжності степеневого ряду, то в усіх точках, розташованих на інтервалі (рис 8.1а), цей ряд збігається абсолютно, а якщо х₁ - точка розбіжності ряду, то в усіх точках, розташованих поза інтервалом (рис. 8.1б), ряд розбігається.

Рис. 8.1.

Інтервал називають інтервалом збіжності степеневого ряду. Поклавши , інтервал збіжності можна записати у виді (- R, R). Число R називають радіусом збіжності степеневого ряду, тобто R > 0 - таке число, що при усіх |х| < R, ряд (8.5) абсолютно збігається, а при |х| > R розбігається.

З ознаки збіжності Даламбера радіус збіжності степеневого ряду може бути визначений співвідношенням . (8.6)

Приклади

1. Знайти область збіжності ряду

Знаходимо радіус збіжності

.

Отже, цей ряд збігається при будь-якому значенні х. Загальний член цього ряду прямує до нуля.

2. Знайти область збіжності ряду

Знаходимо радіус збіжності .

Отже, ряд сходиться при - 2 < x + 2 < 2, тобто при - 4 < х < 0. При х = - 4 маємо ряд , який за ознакою Лейбніца збігається. При х = 0 маємо ряд, що розбігається .

Отже, областю збіжності початкового ряду є - 4 ≤ х < 0.

3. Ряд розбігається на усій числовій прямій, окрім точки х = 0, оскільки радіус збіжності .

Розвинення функцій в степеневі ряди. Розвинення функції в степе-невий ряд Тейлора має вигляд

(8.7)

Якщо у ряді Тейлора х₀ = 0, то ряд називається рядом Маклорена, він має вигляд

(8.8)

Розвинення основних функцій в степеневі ряди:

,

,

,

,

,

,

,

.

Ряди Фур'є. Якщо функція f(x) - періодична функція періоду 2, неперервна на відрізку [-; ] або вона має на цьому відрізку кінцеве число точок розриву першого роду тоді ця функція f(x) розкладається f(x) в тригонометричний ряд Фурье

= , (8.9)

де ,

,

називаються коефіцієнтами коефіцієнтами Фур'є для функції f(x).

Приклад. Розкласти в ряд Фур'є періодичну функцію з періодом T = 2 на відрізку [-; ].

Задана функція є непарною, отже, коефіцієнти Фур'є шукаємо у виді:

,

де

Отримуємо: .

Завдання для самостійного розв‘язку

Знайти суму ряда

8.1. ; Відповідь: 8.2. ; Відповідь:

8.3. ; Відповідь: 8.4. ; Відповідь:

8.5. ; Відповідь: 8.6. Відповідь:

Дослідити на збіжність

8.7. ;Відповідь: 8.8. ; Відповідь:

8.9. ; Відповідь: 8.10. ; Відповідь:

8.11. ; Відповідь: 8.12. ; Відповідь:

8.13. ; Відповідь: 8.14. ; Відповідь:

8.15. ; Відповідь: 8.16. . Відповідь:

8.17. Відповідь: 8.18. Відповідь:

8.19. Відповідь: 8.20. Відповідь:

8.21. Відповідь: 8.22. Відповідь:

Знайти область збіжності

8.23. ; Відповідь: 8.24. ; Відповідь:

8.25. Відповідь: 8.26. ; Відповідь:

8.27. ; Відповідь: 8.28. . Відповідь:

8.29. Відповідь: 8.30. Відповідь:

8.31. Відповідь: 8.32. Відповідь:

8.33. Відповідь: 8.34. Відповідь:

Розкласти функцію в ряд Маклорена

8.35. ; Відповідь:

8.36. ; Відповідь:

8.37. ; Відповідь:

8.38. ; Відповідь:

8.39. ; Відповідь:

8.40. Відповідь:

8.41. Відповідь:

8.42. Відповідь:

8.43. Відповідь:

8.44. Відповідь:

8.45. Відповідь:

8.46. Відповідь:

8.47. Відповідь:

8.48. Відповідь: