176

8. Ряди

8.1. Числові ряди. Основні визначення.

Нехай a₁ , a₂, …, a_п , … - числова послідовність. Сума членів послідовності

a₁ + a₂+…+ a_п + … = (8.1)

називається числовим рядом.

Кінцеві суми = , n = 1,2,3,…

називаються частковими сумами ряду (8.1).

Якщо існує кінцева границя послідовності часткових сум , то ряд називається збіжним, а число S - сумою ряду.

= S або . (8.2)

Якщо не існує кінцевої границі послідовності часткових сум , то ряд називається розбіжним.

Ознаки збіжності ряду

Необхідна ознака збіжності ряду. Якщо ряд збіжний, то необхідно, щоб загальний член a_n прямує до нуля, тобто .

Достатня умова розбіжності числового ряду. Якщо або ця границя не існує, то ряд розбігається.

Достатні ознаки збіжності позитивних числових рядів.

Ознаки порівняння з «еталонним» рядом:

1. Нехай дано два позитивні ряди і (a_n, b_n  0 ) і виконується нерівність a_n  b_n при будь-якому n, тоді із збіжності ряду виходить збіжність ряду , а з розбіжності ряду виходить розбіжність ряду .

2. Якщо для позитивних рядів і існує кінцева і відмінна від нуля

границя , то ряди і одночасно збігаються або розбігаються.

«Етолонні» ряди:

1. Розбіжний гармонійний ряд ;

2. Узагальнений гармонійний ряд ;

3. геометричний ряд .

3. Нехай дано два позитивні ряди і (a_n, b_n  0 ) і виконується нерівність при будь-якому n, тоді із збіжності ряду виходить збіжність ряду , а із розбіжності ряду виходить розбіжність ряду .

Приклади:

1. Дослідити на збіжність ряд

Оскільки , а гармонійний ряд розбігається, то розбігається також і ряд .

2. Дослідити на збіжність ряд

Оскільки , а ряд збігається (як убиваюча геометрична прогресія), то ряд теж збігається.

3. Дослідити на збіжність ряд .

Порівнюємо цей ряд із збіжним рядом , загальними членами цих рядів

являються і . Застосовуємо граничну ознаку порів-няння . Ряд збігається.

4. Дослідити на збіжність ряд .

Порівнюємо цей ряд із розбіжним рядом , застосовуємо граничну ознаку порівняння . Ряд розбігається.

5. Дослідити на збіжність ряд .

Порівнюємо цей ряд із розбіжним рядом , застосовуємо граничну ознаку порівняння . Ряд розбігається.

Ознака Даламбера

Нехай для позитивного ряду існує границя . Тоді ряд збігається при l < 1 і розбігається при l >1.

Приклади:

1. Дослідити на збіжність ряд .

За ознакою Даламбера . Ряд збігається.

2. Дослідити на збіжність ряд .

За ознакою Даламбера . Ряд розбігається.

3. Дослідити на збіжність ряд

За ознакою Даламбера . Ряд збігається.

4. Дослідити на збіжність ряд .

За ознакою Даламбера

= . Ряд збігається.

Радикальна ознака Коші

Нехай для позитивного ряду (a_n ≥ 0) існує границя .

Тоді справедливі наступні твердження:

а) якщо, l < 1 те цей ряд збігається;

б) якщо, l > 1 те цей ряд розбігається.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Розв‘язок. За радикальною ознакою Коші

. Ряд збігається.

Інтегральна ознака Коші

Якщо члени позитивного ряду можуть бути представлені як числові значення деякої безперервної монотонно спадною на проміжку [1,+∞) функції f(x) так, що , , …, ,…, то ряд і невласний інтеграл збігаються або розбігаються одночасно.

Приклади: