5.8. Определение максимума и минимума функции с помощью пакета Maxma

Схема исследования функции y = f(x) на экстремум:

1. Найти производную y′ = f ′(x).

2. Найти критические точки функции, в которых производная f ′(x) = 0 или не существует.

3.1. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

или

3.2. Найти вторую производную f ′′(x) и определить ее знак в каждой критической точке.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Пример. Исследовать на экстремум функцию y = x (x − 1)³.

В ячейке ввода задаём функцию y = x (x − 1)³

(%i1) f(x):=x*(x-1)^3;

(%o1) f(x):=x*(x-1)^3

1. Определяем производную y′ = f ′(x)

(%i2) define(df(x),diff(f(x),x));

(%o2) df(x):=3*(x-1)^2*x+(x-1)^3

2. Находим критические точки, в которых производная f ′(x) = 0

(%i3) solve(df(x)=0,x);

(%o3) [x=1/4,x=1]

3. Определяем вторую производную f ′′(x)

(%i5) define(d2f(x),diff(df(x),x));

(%o5) d2f(x):=6*(x-1)*x+6*(x-1)^2

Определяем знак второй производной в каждой критической точке

(%i6) map(d2f,%o4);

(%o6) [6*(x-1)*x+6*(x-1)^2=9/4,6*(x-1)*x+6*(x-1)^2=0]

В точке вторая производная f ′′(4/3) = 9/4 > 0 , значит функция f(x) этой точке достигает минимальное значение

(%i7) f(1/4);

(%o7) -27/256

или (%i25) %o7,numer;

(%o25) -0.10546875

В точке вторая производная f ′′(1) = 0, поэтому вычисляем значение функции первой производной слева и справа точки .

(%i26) df(9/10);

(%o26) 0.026

(%i27) df(11/10);

(%o27) 0.034

т.к. первая производная f ′(x) в окрестности точки знак не меняетЮ в данной точке функция f(x) экстремума не имеет.

Задачи для самостоятельного решения

Найти наименьшее и наибольшее значения функции

1) , [1;9] ; 2) , [-1;6];

3) , [0;6] ; 4) , [-3;3];

5) , [1/2; 2] ; 6) , [-2; 1] .