Метод взвешенных наименьших квадратов (вмнк)

Процедуру оценивания параметров ВМНК рассмотрим на примере парной линейной регрессионной модели с гетероскедастичностью:

.

Преобразуем эту модель, разделив каждое наблюдение на соответствующее ему значение стандартного отклонения :

, (4.1)

где .

Для преобразованной модели (4.1) условия гомоскедастичности выполнены, так как . “Взвешивая” каждое наблюдение с помощью коэффициента , мы наблюдениям с бóльшей дисперсией придаем меньший вес , в результате чего получаем классическую регрессионную модель. Далее применяя к преобразованной модели (4.1) обычный метод наименьших квадратов, получим непосредственно оценки параметров исходной модели.

При использовании ВМНК оценки параметров не только получаются несмещенными (они будут таковыми и для обычного МНК), но и более точными (имеют меньшую дисперсию), чем невзвешенные оценки.

Ключевым моментом при применении метода взвешенных наименьших квадратов является выбор весов.

На практике дисперсии ошибок неизвестны, поэтому их заменяют оценками . Тогда модель (4.1) примет вид:

. (4.2)

После замены переменных, обычным МНК оценивается преобразованная модель вида:

, (4.3)

для которой значения преобразованных переменных вычисляются по формулам .

При оценивании параметров модели (4.3) следует иметь ввиду, что в этой модели отсутствует свободный член.

Число оценок дисперсии ошибок равно “n”. Проблема заключается в том, что без дополнительных ограничений невозможно получить приемлемые оценки дисперсии ошибок.

Рассмотрим пример наложения таких ограничений.

Для экономических данных стандартные отклонения ошибок часто прямо пропорциональны значениям объясняющей переменной , т.е. . Тогда модель (4.2) примет вид:

. (4.4)

После замены переменных, обычным МНК оценивается преобразованная модель вида:

, (4.5)

для которой значения преобразованных переменных вычисляются по формулам . Заметим, что параметры и поменялись ролями: коэффициент при будет эффективной оценкой параметра , а свободный член – эффективной оценкой параметра исходной модели.

Замечание.

Коэффициент детерминации не может служить удовлетворительной мерой качества подгонки при использовании ВМНК. В общем случае может выходить даже за пределы интервала .

Итак, если на основе какого-либо теста установлена гетероскедастичность, для ее устранения трансформируют спецификацию исходной модели так, чтобы остатки имели постоянную дисперсию. Далее неизвестные параметры трансформированной модели оценивают обычным методом наименьших квадратов. Трансформация спецификации модели зависит от характера гетероскедастичности, т.е. от формы зависимости между дисперсией остатков и значениями j-той независимой переменной:

.

Если эконометрическая модель содержит только две переменные, то преобразование исходных данных делается так, как описано выше. Это преобразование значительно усложняется, если стоится множественная линейная регрессия. Поэтому в общем случае для оценивания параметров эконометрической модели с гетероскедастичностью применяют обобщенный метод наименьших квадратов (метод Эйткена).