Метод оценки параметров множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе
При построении уравнения регрессии в стандартизованном масштабе все значения переменных переводятся в стандартизованные значения. Для этого значения исходных переменных центрируют (т.е. смещают на величину их среднего по выборке значения) и нормируют (путем деления значений центрированных переменных на соответствующие среднеквадратические отклонения исходных переменных в выборке) по формулам:
; 
, 
,…,
, (2.3)
где
-
стандартизованная объясняемая переменная;
-
среднее по выборке значение объясняемой
переменной
;
-
стандартизованные объясняющие переменные;
-
средние по выборке значения объясняющих
переменных
,
;
-
среднеквадратические отклонения
показателя Y
и факторов
,
которые вычисляются по формулам:
; 
, (2.4)
где n – число рассматриваемых наблюдений.
Таким образом,
начало отсчета каждой стандартизованной
переменной совпадает с ее средним
значением, а в качестве единицы измерения
принимается её среднеквадратическое
отклонение. При этом средние значения
стандартизованных переменных
равняются нулю, а их дисперсии – единице.
В стандартизованном масштабе упрощается линейное соотношение между показателем и факторами: уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе не имеет свободного члена и выглядит так:
, (2.5)
где
– оценки стандартизованных параметров,
которые могут быть получены с помощью
МНК, причем стандартизованные параметры
– безразмерные величины.
Благодаря тому,
что все стандартизованные факторы и
стандартизованный показатель (объясняемая
переменная) также безразмерные
величины, параметры линейной
регрессии в стандартизованном масштабе
показывают сравнительный вклад каждого
фактора в показатель. Другими словами,
оценки параметров
показывают сравнительную силу
влияния каждой объясняющей переменной
на объясняемую переменную: чем больше
по модулю значение оценки параметра
,
тем сильнее влияет i-тая
объясняющая переменная на результирующую
(объясняемую) переменную.
Оценка
показывает, на какую часть своего
среднеквадратического отклонения
изменится объясняемая переменная
,
если объясняющая переменная
,
изменится на одно значение своего
среднеквадратического отклонения при
неизменных значениях других факторов.
Найденные
-коэффициенты
позволяют определить значения оценок
параметров регрессии в естественном
масштабе по формулам:
,
; 
. (2.6)
Построение эконометрической модели пошаговым регрессионным методом
При построении многофакторной регрессионной модели, с одной стороны, необходимо включить в модель все факторы, которые имеют влияние на результирующую переменную. С другой стороны, следует стремиться, чтобы модель включала как можно меньше, но самые существенные факторы. Одним из методов выбора рационального уравнения регрессии считается пошаговый регрессионный метод, который базируется на элементах дисперсионного анализа. Согласно этому методу, факторы по очереди включаются в модель до тех пор, пока модель не будет соответствовать некоторым заранее установленным критериям. Порядок включения выбирается с помощью коэффициента корреляции как меры важности факторов (объясняющих переменных), которые еще не включены в модель. Пошаговый регрессионный метод удобно представить в виде следующего пошагового алгоритма.
Шаг 1. Все входные данные стандартизуют (центрируют и нормируют).
Шаг 2. Находят корреляционную матрицу (матрицу парных коэффициентов корреляции):
,
где
-
парные коэффициенты корреляции между
объясняемой и объясняющими стандартизованными
переменными;
-
парные коэффициенты корреляции между
объясняющими стандартизованными
переменными. Они характеризуют степень
зависимости этих переменных.
Шаг 3.
На основе сравнения абсолютных значений
выбирают
.
Максимальное
указывает на ту объясняющую переменную
,
которая теснее всего связана с Y.
С помощью метода наименьших квадратов
находят оценку параметра регрессии Y
на эту объясняющую переменную:
.
Здесь модель строится на основе стандартизованных данных.
Шаг 4.
Среди тех значений
,
которые остались, выбирается
и в модель вводится следующая объясняющая
переменная
.
С помощью метода наименьших квадратов
находят оценки параметров следующей
модели в стандартизованном масштабе:
и т.д.
Шаг 5. На каждом шаге оценивается обоснованность включения новой объясняющей переменной по сравнению с предыдущим шагом. Процесс добавления новых объясняющих переменных прекращается, когда выяснится, что очередной новый фактор уже несущественно влияет на показатель Y и присутствие этого фактора в модели не является обоснованным.