Тест Дарбина-Уотсона на наличие или отсутствие автокорреляции
Статистика
Дарбина-Уотсона применяется для проверки
нулевой гипотезы
об отсутствии автокорреляции остатков
первого порядка.
Дарбин и Уотсон
доказали (1951 г.), что существуют две
границы (два критических значения
DW-статистики), обычно обозначаемые
(верхняя) и
(нижняя),
,
которые зависят лишь от числа наблюдений
(n), количества объясняющих переменных
(m) и уровня значимости
и обладают следующим свойством:
если
,
то гипотеза
принимается (нулевая гипотеза состоит
в отсутствии автокорреляции остатков
первого порядка);если
,
то гипотеза
отвергается в пользу альтернативной
гипотезы
о положительной автокорреляции
остатков;если
ситуация неопределенна, т.е. нельзя
высказаться в пользу той или иной
гипотезы. Это зона неопределенности
для DW, когда нет оснований ни
принимать, ни отвергать гипотезу об
отсутствии автокорреляции остатков.
Если альтернативной
является гипотеза об отрицательной
автокорреляции остатков, то
соответствующими границами будут
и
.
Целесообразно представить эти результаты графически (рис.5.8) и в виде табл.5.1.
Рис.5.8. Доверительные интервалы статистики Дарбина-Уотсона
Таблица 5.1 – Критерии теста Дарбина-Уотсона
Значение DW-статистики |
Вывод |
|
Гипотеза отвергается, есть положительная автокорреляция |
|
Неопределенность |
|
Гипотеза принимается, автокорреляция отсутствует |
|
Гипотеза принимается, автокорреляция отсутствует |
|
Неопределенность |
|
Гипотеза отвергается, есть отрицательная автокорреляция |
Наличие зоны неопределенности, конечно, представляет определенные трудности при использовании теста Дарбина-Уотсона. Ее ширина может быть довольно значительной. К примеру, при n=19, m=3 и α=0,05 она образует интервал (0,97;1,68).
Пример 5.5.
Пусть оценена
парная линейная регрессия по 15 наблюдениям
и
.
Зададим уровень
значимости 0,05 и найдем по таблицам
;
.
Нулевая гипотеза была бы принята при
(статистически значимая автокорреляция остатков отсутствует) и отвергнута при
.
Поскольку в данном случае DW лежит между и , нулевая гипотеза не может быть ни принята, ни отвергнута.
Пример 5.6.
Пусть оценена множественная линейная регрессия по 10 наблюдениям. Количество факторов равно трем. Рассчитанная статистика Дарбина-Уотсона равна:
.
По таблице Дарбина-Уотсона при уровне значимости 0,05 для количества факторов m=3 и количества наблюдений n=10 находим два критических значения:
;
.
Строим соответствующие доверительные интервалы для DW-статистики:
зона значений от 0 до 0,34 является зоной положительной автокорреляции;
зоны от 0,34 до 1,73 и от 2,27 до 3,66 являются зонами неопределенности;
зона от 1,73 до 2,27 является зоной отсутствия автокорреляции между случайными величинами;
зона от 3,66 до 4 является зоной отрицательной автокорреляции.
Как видно наше значение DW попадает в зону отсутствия автокорреляции между остатками.