Замечание

Коэффициент детерминации не может служить удовлетворительной мерой качества подгонки при использовании взвешенного МНК. В общем случае может выходить даже за пределы интервала .

Обобщенный метод наименьших квадратов (метод Эйткена)

Итак, для устранения гетероскедастичности спецификацию исходной модели трансформируют так, чтобы остатки имели постоянную дисперсию. Далее неизвестные параметры трансформированной модели оценивают обычным методом наименьших квадратов.

Если эконометрическая модель содержит только две переменные, то преобразование исходных данных делается так, как описано выше.

Это преобразование значительно усложняется, если строится множественная линейная регрессия.

Поэтому в общем случае для оценивания параметров эконометрической модели с гетероскедастичностью применяют обобщенный метод наименьших квадратов (метод Эйткена), согласно которому оператор оценивания вектора параметров B в матричной форме выглядит так:

, (5.12)

где S – это матрица, с помощью которой преобразуются исходные данные.

В случае гомоскедастичности оценка обобщенного метода наименьших квадратов (5.12) совпадает с оценкой обычного МНК, которую для гомоскедастичной модели в матричной форме получают оператором: .

Обнаружение гетероскедастичности

Существуют статистические тесты на гетероскедастичность, позволяющие выявлять гетероскедастичность того или иного рода. Рассмотрим наиболее простой и наглядный.

Обнаружение гетероскедастичности на основе графического анализа остатков

Определиться с наличием гетероскедастичности позволяет использование графического представления остатков. В этом случае по оси абсцисс откладываются упорядоченные значения объясняющей переменной Х (либо линейной комбинации объясняющих переменных ), а по оси ординат либо остатки , либо их квадраты . Если все находятся внутри полуполосы постоянной ширины, параллельной оси абсцисс, это говорит о независимости дисперсии от значений переменной Х и их постоянстве, т.е. в этом случае выполняются условия гомоскедастичности. Графический анализ остатков является удобным и достаточно надежным в случае парной регрессии.

На рис.5.3 показано, как изменяются квадраты остатков, которые имеют постоянную дисперсию (случай гомоскедастичности), а на рис.5.4 – квадраты остатков, дисперсия которых разная для разных групп наблюдений (наблюдается явление гетероскедастичности).

Рис 5.3. Закономерность изменения квадратов остатков при гомоскедастичности

Рис 5.4. Закономерность изменения квадратов остатков при гетероскедастичности

Практические рекомендации.

Если есть предположение о зависимости ошибок от одной из объясняющих переменных, то целесообразно расположить наблюдения в порядке возрастания значений этой переменной, а затем провести обычную регрессию и получить остатки. Если размах их колебаний тоже возрастает (это хорошо заметно при обычном визуальном исследовании), то это говорит в пользу исходного предположения. Тогда надо сделать описанное выше преобразование, вновь провести регрессию и исследовать остатки. Если теперь их колебание имеет неупорядоченный характер, то это может служить показателем того, что коррекция на гетероскедастичность прошла успешно. Естественно, следует сравнивать и другие параметры регрессии (значимость оценок, сумму квадратов отклонений и т.п.) и только тогда принимать окончательное решение, какая из моделей более приемлема.

Самым популярным тестом обнаружения гетероскедастичности является параметрический тест Голдфелда-Квандта.

Таким образом, для устранения отрицательных последствий гетероскедастичности следует стремиться к свободной от гетероскедастичности (т.е. к гомоскедастичной) спецификации модели.

Когда на базе какого-то теста установлена гетероскедастичность, то для ее устранения изменяют начальную модель таким образом, чтобы ошибки имели постоянную дисперсию. Дальше оценки неизвестных параметров трансформированной модели рассчитываются обычным методом наименьших квадратов.