7.3.2 Математическая модель температурного поля образца из исследуемого материала

Если в процессе эксперимента зарегистрированы температуры и соответственно в точках с координатами и , то математическую модель температурного поля в исследуемом образце в области можно записать в виде:

(7.10)

(7.11)

(7.12)

(7.13)

с дополнительным условием

(7.14)

превращающим прямую краевую задачу (7.10) – (7.13) в инверсную краевую задачу теплопроводности (7.10) – (7.14) относительно неизвестного параметра, представляющего собой искомый коэффициент температуропроводности а.

Применив преобразование Лапласа к рассматриваемой инверсной краевой задаче теплопроводности, получаем

так как в силу (7.11)

С учетом этих обозначений прямая краевая задача теплопроводности (7.10) – (7.13), после применения к ней преобразования Лапласа, принимает вид:

(7.10а)

(7.12а)

(7.13а)

с дополнительным условием

(7.14а)

Общее решение уравнения (7.10а) имеет вид [16]:

(7.15)

Подставив , а затем в общее решение (7.15) на основании (7.12а) и (7.13а), получаем

систему двух уравнений (7.12b), (7.13b). Если пока считать коэффициент температуропроводности а параметром, то из системы уравнений (7.12b), (7.13b) легко получить значения двух коэффициентов А и В, в частности

откуда следует

(7.16)

(7.17)

Потребуем, чтобы найденное решение (7.15) с учетом (7.16) и (7.17) удовлетворяло дополнительному условию (7.14а).

Подставив значения А и В, выраженные в виде (7.17) и (7.16), в общее решение (7.15) и приравняв в полученной записи

(7.14b)

получим одно уравнение

(7.18)

с одним неизвестным – коэффициентом температуропроводности а.

Уравнение (7.18) легко решается численно, например, методом деления отрезка пополам (после предварительного определения отрезка, содержащего только один корень).

Если ввести обозначение , то уравнение (7.18) примет вид

(7.18а)

Если путем вычислений найдем корень уравнения (7.18а), то искомый коэффициент температуропроводности а находится по формуле

Опыт практической работы показал, что погрешность вычисления корня уравнения (7.18а), а значит и погрешность определения коэффициента температуропроводности а, существенно зависит от того, насколько правильно выбрана величина параметра р преобразования Лапласа, входящего в уравнение (7.18а) в качестве параметра. Поэтому одним из существенно важных этапов отработки практической методики измерения коэффициента температуропроводности а является этап выбора оптимального значения параметра р преобразования Лапласа.

7.3.3 Порядок проведения эксперимента при измерении коэффициента температуропроводности

При практическом осуществлении метода измерения коэффициента температуропроводности а, рассматриваемого в параграфе 7.3, можно рекомендовать следующий примерный порядок проведения эксперимента.

1   Изготавливают монолитный или составной образец (см. п. 7.3.1) и в этом образце размещают три малоинерционных датчика температуры, например, термопары или термометры сопротивления.

2   В связи с тем, что в постановку исходной краевой задачи теплопроводности (для рассматриваемого в п. 7.3 метода) входят однородные начальные условия (7.11), подготовленный образец, после размещения в нем датчиков температуры, следует достаточно длительное время выдержать при постоянной температуре , условно принимаемой за начало шкалы измерения температуры в ходе эксперимента. Об однородности начального распределения температуры в исследуемом образце судят по показаниям датчиков температуры ДТ1, ДТ2, ДТ3, размещенных в плоскостях с координатами и .

3   После достижения однородного распределения температуры в исследуемом образце начинают активную стадию эксперимента. При этом на исследуемый образец подают внешнее тепловое воздействие:

–   либо в виде ступенчатого или апериодического изменения температуры окружающей среды, например, путем помещения этого образца в воздушный или жидкостный термостат с температурой , отличающейся от начальной температуры образца;

–   либо в виде линейного или монотонного во времени изменения температуры окружающей среды;

–   либо в виде периодически изменяющегося во времени внешнего теплового воздействия и т.п.

4   В ходе активной стадии эксперимента измеряют и регистрируют сигналы датчиков температуры ДТ1, ДТ2 и ДТ3.

5   При достижении некоторого предельного значения температуры в одной из точек и , в которых установлены датчики температуры ДТ1, ДТ2 и ДТ3, активную стадию эксперимента прекращают.

Примечание. В качестве предельного значения температуры можно задать:

–   либо температуру, на несколько градусов ниже температуры деструкции исследуемого материала (при линейном или монотонном во времени нагреве образца);

–   либо температуру (в точке , наиболее удаленный от поверхности образца), на заданную малую величину отличающуюся от установившегося (постоянного) значения температуры внешнего теплового воздействия (при ступенчатом или апериодическом изменении температуры окружающей среды).

6   После завершения эксперимента производят обработку полученных данных об изменении температур , и в точках и в соответствии с методикой, изложенной в п. 7.3.2, и вычисляют искомое значение коэффициента температуропроводности а.